关于分块半正定矩阵性质的注记

张萍萍，任芳国

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062）

分块半正定矩阵的性质研究有着重要的理论价值，在实际应用中具有重要的作用，是学界研究的热点[1-5]。文献[6-7]给出了几个分块半正定矩阵之间的关系及半正定矩阵的相关结论；文献[8-10]主要用分块半正定矩阵的相关性质证明了矩阵不等式；文献[11]利用Schur乘积定理、分块矩阵逆、矩阵迹、行列式和正规矩阵的性质，获得了矩阵迹不等式、半正定分块矩阵的行列式不等式、矩阵主子阵的不等式、矩阵的谱跨度的不等式相关结果。本文借助以上的研究成果和现有的分块半正定矩阵的相关性质，研究了2×2分块半正定矩阵关于行列式的性质以及2×2分块半正定矩阵的判定等价命题，深化了分块半正定矩阵已有性质。此外还研究了两个Hermite矩阵在状态R下的协方差和方差的基本性质。

1 预备知识

为了叙述方便，我们对文中符号进行约定：A∗表示矩阵A的共轭转置，AT表示矩阵A的转置，表示数域F上的所有m×n的矩阵的集合；表示数域F上的所有n×n的矩阵的集合是矩阵 A的迹，其中

下面是与本文有关的几个定义和引理：

定义1[2]设矩阵，有则称 A为半正定矩阵，若，则称A为正定矩阵。

定义2[4]设 A∈Mn×n(C )，λ1,λ2,…，λn为 A的特征值，若，则称 ρ(A)为矩阵A的谱半径。

定义4[1]设 X∈Mn(C)，若则称 X为；其他未加说明的符号参见文献[1]。压缩矩阵，若‖‖X ＜1，则称X为严格压缩矩阵。

定义5[1]设A,B∈Mn()C ，则称

2 主要结论及证明

定理1设A∈Mn(C)为正定矩阵，x,y∈Cn，且α，β都是正实数，令

3 结论

2×2分块半正定矩阵的性质在分块矩阵的研究中占据重要位置。本文利用已有的分块半正定矩阵的相关性质，获得了一些分块半正定矩阵关于行列式的性质以及2×2分块半正定矩阵的判定等价命题和两个Hermite矩阵在状态R下的协方差和方差的相关性质。