中算勾股算术在17世纪日本的传播与发展

孙 琳，徐泽林

（东华大学 人文学院，上海 200050）

日本庆长八年（1603）德川家康（1542—1616）在江户（今东京）开设幕府建立“幕藩体制”，至庆应三年（1867）大政奉还天皇，历时264年，被称作江户时代。江户时代和算发达，其中以代数为中心的度量几何是最为突出的成就之一，尤其是几何图形的计算，其中就包括勾股算术的内容[1]。

1 中国传统勾股问题在日本的传播

1.1 中国传统勾股问题的源流与发展

勾股问题最初见于公元前1世纪左右的《周髀算经》，书中记载陈子答荣方曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”[2]即设邪至日为弦记为c，日高为股记为b，日下为勾记为a，则c= a2+b2。三国时赵爽以“弦图”、刘徽用“图验法”分别对勾股定理进行证明。而勾股算术知识详细记载于公元1世纪的《九章算术》，其主要内容包括：（1）勾股定理及其证明；（2）勾股整数（即满足不定方程x2+y2=z2的一组正整数解）；（3）勾股容方、容圆术；（4）相似勾股形与勾股测量术；（5）解勾股形。

《九章算术》中给出了求勾股整数的一般公式，郭书春《〈九章算术〉中的整数勾股形研究》[3]一文剖析了《九章算术》中的整数勾股形理论。在《九章算术》之后，整数勾股形理论未得到很好的继承与发展，一直到了清代，中算家们才开始讨论整数勾股形的性质和构造方法。《九章算术》的勾股相容问题包括勾股容方与勾股容圆。金元时期李冶（1192—1279）在《测圆海镜》中通过“圆城图式”（洞渊九容）丰富了容圆体系。《九章算术》的勾股测望问题主要是用来解决实际问题，如测高望远，其数学原理是“相似直角三角形对应边成比例”，也就是刘徽所概括的：“相与之势不失本率”，它是中国古代测量学的基础，后为刘徽的《海岛算经》与秦九韶的《数书九章》所发展。

中国古代勾股算术求解中，通常根据直角三角形三边中的任两边或五和、五较等数量关系，求解未知勾或股或弦。明代数学著作普遍涉及勾股算术，但没有增长新的知识。到了清代，在西方几何知识的刺激和影响下，勾股算术研究成果才丰富起来，此时中国传统数学中的勾股算术知识体系已基本完备，其特点集中表现为：（1）与实际应用密切相关；（2）遵循“数形结合”原理；（3）有其独特的理论体系与发展方向，每一类问题都有其“术”，这与我国传统数学以“算”为核心理念相契合[4]。

1.2 传播至日本的中国传统勾股算术

在17世纪以前，中算传统数学两次大规模传入日本。第一次是7世纪中叶至10世纪，中算书籍初入日本，主要是算经十书[5]。再次传入日本则在16、17世纪，这一时期传入日本的是宋元明时期的数学。中算书籍主要通过海上贸易、走私以及日本侵占朝鲜传入日本，其中对日本影响最大的有《杨辉算法》《算学启蒙》《算法统宗》[6]。和算家们的研究热情与水平较之前有大幅增长，他们最初吸收的是中国明代数学，后转而摄取宋元数学。《杨辉算法》对和算的影响主要表现在：（1）对关孝和（Seki Takakazu，1642—1708）的数学工作以及关流数学有很大影响；（2）一些和算著作如《童介抄》《增补算法阙疑抄》《大成算法》《算学启蒙谚解大成》等直接或间接引入了《算学启蒙》《杨辉算法》的内容；（3）和算家们从中吸取了纵横图、翦管术、重差术、高次数值方程求解方法[7]。《杨辉算法》①《杨辉算法》是宋代数学家杨辉的三种数学著作合七卷的总称，这三种著作是《乘除通变算宝》二卷、《田亩比类乘除捷法》三卷和《续古摘奇算法》二卷。中与勾股问题相关的内容集中在《续古摘奇算法》下卷，“开方不尽法”章中熟练应用勾股定理，在“竿不知高”题中，讨论了勾股容直问题，并得到勾中容横之积等于股中容直之积，杨辉还提出了“余勾”“余股”的概念。此外，“重差术”也由此书传入日本，和算家将其发展为“町见术”。元代朱世杰（1249—1314）的《算学启蒙》传入日本后，于万治元年（1658）出现刊刻本，江户时期一些和算家们也对该书做了注解，如1672年星野实宣出版《新编算学启蒙注解》，促使《算学启蒙》在日本广泛流传。1690年建部贤弘（Takebe Katahiro，1664—1739）出版《算学启蒙谚解大全》，解读了其中所有的数学方法。《算学启蒙》对日本影响最大的是天元术[8]，其中的勾股知识主要分布于卷下方程正负门和开方释锁门，前者讨论以线性方程组求解的问题，有的问题以勾股问题作为题设，后者以天元术解勾股形。明代程大位（1533—1606）的《算法统宗》卷十二专论勾股，沿用《九章算术》的体例，取材多见于杨辉的《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》和明代顾应祥的《勾股算术》《弧矢算术》。该书在日本被翻刻，和算家吉田宗恂（Yoshida So，1558—1610）最早研究此书。后吉田光由（Yoshida Mitsuyoshi，1597—1672）以其为蓝本著成《尘劫记》。在以《算法统宗》为代表的明代中算书的影响下，与吉田光由同时期的和算家今村知商（Imamura Chishyo，1591—1668）著成《竖亥录》。

17世纪受《算法统宗》影响的和算书有吉田光由《尘劫记》、岛田贞继（Shimada Jinji）《九数算法》、礒村吉德（Isomura Yositoku，？—1710）《算法阙疑抄》、汤浅得之（Yuasa Tokushi）《新编直指算法统宗》[9]；受《算学启蒙》影响的和算书有村松茂清（Muramatsu Shigekyo，1608—1695）《算俎》、佐藤正兴（Sato Masayoshi）《算法根源记》、泽口一之（Sawaguchi Ka-zuyuki）《古今算法记》、星野实宣《新编算学启蒙注解》和《股勾弦钞》、前田宪舒（Maeda Takanobu）《算法至源记》、西川胜基（Nishikawa Hiroki）《算法指南》、脇野光正（Wakino Mitsumasa）《算法一起》、建部贤弘《算学启蒙谚解大成》等。这些和算书不同程度地涉及勾股内容，到了17世纪下半叶更是出现了研究勾股问题的专著。

2 17世纪和算书中的勾股知识

2.1 早期和算书中零散的勾股算术

在江户初期的和算书中，百川治兵卫的《诸勘分物》（1622）是现存的第一部记载有勾股定理的文献。今村知商的《竖亥录》（1639）是一本汉文数学公式集，但勾股知识依旧局限于勾股定理的应用，其另外一本书《因归算歌》（1640）则开始出现勾股测望内容。

1600—1650年间，勾股知识都比较零散，上述著作中都未专设勾股章，直至岛田贞继的《九数算法》（1653）出现。《九数算法》在内容和形式上皆与中国古代的《算法统宗》相似，该书第九章为勾股章，共有9题，主要讲述勾股弦互求之法。其中，前5题都是用勾股定理求解勾股形，后4题讨论了测望问题。

初坂重春（Hatsusaka Shigeharu）的《圆方四卷记》（1657）中的勾股算术出现新面貌，该书除了讨论勾股定理与测望问题之外，还融入了勾股容方、勾股容圆内容。同年，柴村盛之（Shibamura Moriyuki）的《格致算书》问世，除了上述勾股知识外，该书中出现了勾股形中同时容方和容圆的组合。

村松茂清的《算俎》（1663），共五卷，各卷数学内容的分类方式比较独特，将同类问题按难易程度，由浅入深地编排，其中，卷三（7问）、卷四（29问）、卷五（18问）都各设有“勾股弦”章。该书中除了应用勾股定理，也给出一些其他解勾股形的公式。在勾股相容问题中，除了勾股容方、勾股容圆外，还增加了勾股容横与勾股容菱。容圆也不再局限于容一圆，还有容二圆、容三圆等情形。相较于之前的文献，此书中勾股问题更为丰富。从《算俎》中可以看出和算勾股算术知识体系的雏形，其中勾股容菱问题也是中国传统勾股算术中未曾讨论过的。

1667年，多贺谷经贞（Tadano Tani）的《方圆秘见集》问世，此书分上、中、下3卷，除了求解勾股形与勾股容圆问题之外，第一次讨论了勾股容三角形的问题。随后，岡岛友明（Oka Tomoaki）的《算法明备》（1668）也讨论了勾股容方、勾股容圆等问题，还给出勾股容两个同心圆的问题。佐藤正兴的《算法根源记》（1669）中几何问题更多，包括大量的勾股算术问题，解题方法除了之前所用的“公式法”与“带纵开方法”外，还新增了“天元术”。这是江户初期天元术第一次被应用到解勾股算术问题中来，可惜的是，天元术用法不完全正确。真正懂得天元术的精髓并将其用来解题的是泽口一之，其《古今算法记》（1671）基本上都是用天元术解几何问题，包括一些勾股容圆、勾股容直（方）问题。其知识和方法来源于《算学启蒙》，加之次年星野实宣著《新编算学启蒙注解》（1672）的出版，推动了宋元数学中天元术及包括勾股算术在内的代数化几何在和算中的普及。直接继承《古今算法记》传统的和算书有关孝和的《发微算法》（1674）和建部贤弘的《研几算法》（1683）与《发微算法演段谚解》（1685），以及宫城清行（Miyahi Kiyoyuki）的《明元算法》（1689）与《和汉算法》（1695）、安藤吉治（Ando Yoshiharu）的《一极算法》（1689）、井关知辰（Iseki Tomotoshi）的《算法发挥》（1690）。在《发微算法》中，关孝和用其发明的演段术（改造天元术的文字代数方法）解答《古今算法记》后的15个遗题，建部贤弘的《发微算法演段谚解》对《发微算法》的求解给出详细的演算过程。这两书中勾股算术主要有勾股定理、勾股容方、勾股容圆。

井关知辰的《算法发挥》分上、中、下3卷，书中勾股问题分布在中卷和下卷，主要涉及求解勾股形、勾股容横、勾股容方、勾股容圆。大体与《发微算法演段谚解》一样，该书主要讨论多元高次方程组消元中的终结式构造与演算问题。宫城清行的《和汉算法》分九卷，其中勾股问题也非常丰富，包括求解勾股形、勾股容方、勾股容横、勾股容圆。卷二设勾股章，卷三设勾股配积门，之后卷四、五、六是求解《算法根源记》的150道遗题①遗题继承是这一时期形成的独特的数学文化现象，与今天的数学问题征解形式相似，很多算书结尾都是作者提出的问题或是对前人著作中遗题的解答。。

此外，一些关于天元术的和算书也含有大量的勾股问题，以勾股图形中的数量关系构建代数方程，如佐藤茂春（Sato Shigeharu）的《算法天元指南》（1698），其中的勾股问题包括求解勾股形、勾股容方、勾股容横、勾股容圆，作者在书中直接给出了若干公式，第九卷是以天元术来求解。藤井直好（Fujii Naoyoshi）的《算法志元录》（1699）中的勾股问题，包括求解勾股形、勾股容方、勾股容横、勾股容圆，亦用天元术求解。三宅贤隆（Miyake Yoshitaka）的《具应算法》（1699）中卷一、卷二、卷三、卷五都涉及勾股问题，主要包括：求解勾股形、勾股容方、勾股容三角、勾股容横和勾股容圆，其中还新出了勾股容空方、容空圆、容空五边形、容空卵形等立体图形容切问题。

2.2 专题研究勾股算术问题的和算书出现

通过上述考察可知，17世纪的和算书中普遍载有勾股算术内容，知识虽然比较零散，但内容上比中国传统勾股算术更丰富多样。到了17世纪后期出现了勾股算术研究的专题著作，主要有1672年出版的《股勾弦抄》与1684年出版的《勾股弦适等集》。

《勾股弦抄》[10]是宽文十二年（1672）出版的一部专论勾股的著作。该书的作者是星野实宣（Hoshino Minori，1637—1699）。全书包括勾股弦问题150道、一次同余问题3道及幻方和目付式问题。其中讨论的勾股知识分为4章，分别是有积门、有股或有勾门、有弦门、积不知三所不知门，全部都是求解勾股形问题。解题方法主要是列方程求解，从一元二次方程逐渐到高次数值方程再到二元一次方程组，与朱世杰的《算学启蒙》下卷“方程正负门”相比，无论是题型还是求解方法，都有异曲同工之处。作者在列方程的过程中，以勾股弦作为题设，频繁地改变已知条件，这一举措使得该书中涉及的解勾股形的已知条件大为增加，比中国清代以前传统和较术中所涉及的要丰富的多，这也是该书在勾股算术方面取得的主要成就。这些已知条件可分为有3大类143种情形，第一个已知条件分别是：勾股弦其中之一（76种），勾股积（42种），勾股弦及其和较间的四则运算结果（24种）。另一个已知条件皆为勾股弦及其和较间的四则运算结果。从分类上来看，中国传统数学中的解勾股形的已知条件主要是勾股弦及其和较间的关系，共78种情形，相比之下，星野实宣在《股勾弦钞》中的讨论更为复杂。该书涉及的勾股恒等式共计7个，分别是：

这7个恒等式包括在19世纪中国清代数学家项名达在《勾股六术》中总结的16个勾股恒等式中，项名达总结的这16个勾股恒等式被认为是可以用以解决几乎所有的解勾股形问题。星野实宣在17世纪已经掌握并且应用这些恒等式解题了。

此后，出现了如《算学渊底记》《算法至源记》《发微算法》《算法明解》《空一算学书》《研几算法》等和算书。但是这一时期的和算在勾股部分并没有显著的发展。

1684年出版的《勾股弦适等集》[11]，是日本江户初期第二本专论勾股算术的著作。该书的作者是和算中西流的创始人中西正好（Nakanishi Masayoshi，生卒年不详）。“适等”意为“恒等式”，该著作立足于10个复杂的勾股形，作者贯彻数形结合的思想，从几何的角度给出了若干个勾股恒等式。中西正好用缩略字表示这10个复杂的勾股形中的26个几何量，包括勾股弦的三边、中勾、短弦、长弦、短勾、短股、长股、直勾、平股、内接圆径、内接方边长等，这是中西流①中西正好是中西流这一和算流派的创始人。该流派仅有两本算书刊刻，一本是中西正则（Nakanishi Masahiro）与松田信好（Matsuda Nobuyoshi）贞享元年（1684）合著的《算法续适等集》，另一本便是中西正好同年所著的《勾股弦适等集》三卷。特有的符号系统。书中给出的这些几何量之间成立的关系式多达2 400余种。若设讨论勾的公式有m个，讨论股的公式有n个，那么讨论勾股形面积的公式则应有mn个。根据这种算法，这些恒等式的组合一共应有534 041 900 843 544个。数量之多早已超出了中国传统数学中勾股研究的范畴，可谓达到了一种极致。中西正好对勾股形内垂线作出定义，将其命名为“中勾”，并给出了中勾的一般求法。作者在书中还给出了7组勾股数以及勾股形构造之法。关于勾股相容问题，书中给出了4种勾股模型，分别是勾股容方、勾股容圆、勾股容直和勾股容菱，以及求解的一般公式。该书的出现使得勾股算术得到进一步发展。

3 结论

中算书籍第一次传入日本后，在一千年内无一本出自日本人之手的和算著作问世，可见，对于当时的日本人来说，这些中算书籍晦涩难懂。当16、17世纪中算典籍再次传入日本时，在政治稳定、经济文化繁荣的条件下，和算家们随之展开对于勾股问题的研究。

17世纪中叶岛田贞继的《九数算法》出版，“勾股”作为单独一章，研究趋于专向。《算俎》的出现标志着勾股问题研究体系已见雏形。1671年《古今算法记》问世，和算家们开始对勾股定理进行证明，也真正理解天元术并将其作为解勾股形的一种方法。随着天元术在日本的普及与发展，勾股算术知识受到重视，逐渐成为和算家感兴趣的数学模型和知识领域。星野实宣的《股勾弦钞》和中西正好的《勾股弦适等集》是江户初期仅有的两本研究勾股问题的专著。前者在沿袭《算学启蒙》体例的基础上，极大地丰富了求解勾股形的已知条件，种类多达143种。后者则是一本勾股恒等式集。为使后世学者不仅明勾股之理且知勾股之用，中西正好在书中建立了中西流特有的汉文缩略字符号体系，将10个图形中的136个几何量之间所成立的关系以恒等式的形式表现出来，所列公式多达2 400余种。由上可以看出和算勾股研究的特点是：（1）从偏实用型转向研究型；（2）强化了宋元数学代数化几何的传统，通过图形建立代数关系，再列方程求解；（3）对于勾股恒等式的研究更为深入。和算勾股虽源于中算，却在17世纪受到重视，得到新的发展，逐步呈现出脱离中算独步发展的趋势，对18、19世纪和算勾股算术的发展也有一定的影响。