快速路交通微分系统的脉冲迭代学习策略研究*

周 荧，罗子健，韦 维

(1.贵州大学 数学与统计学院，贵州 贵阳 550025;2.西南财经大学 经济信息工程学院，四川 成都 611130;3.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

1 引 言

快速路交通是当今重要的公共交通设施，快速路拥堵问题已成为城市交通问题之一.如何更好地方便大众出行，缓解拥堵，是一个亟待解决的实际问题.因此，快速路交通拥堵问题成为近年来交通工程领域研究热点之一.在众多的研究方法中，入口匝道控制是有效交通管理的重要手段.该控制手段通过控制匝道进入主道的车流量，以使得快速路主道上的车流量密度维持在一个期望的水平上，从而达到缓解快速路主道上交通拥堵的目的[1].

由于快速路交通流具有明显的周期性、重复性的特点. 如何利用交通流模型的这种周期性和重复性较好地控制快速路交通流，以提高控制系统的性能和品质，降低交通系统的浪费与污染，是一个值得研究的问题.迭代学习控制[2-3]正是这样的一种有效控制手段，它模拟人类的学习过程，对控制进行学习修正，使得输出达到预期目标.该控制手段不依靠精确的数学模型，非常适合像快速路交通系统这类具有非线性、重复性等特点的研究对象.因此，近年来，不少研究者基于迭代学习控制策略，对城市交通问题进行了研究[4-5].文献[6-7]分别基于常微分模型与分布参数系统研究了迭代学习控制问题，得到了较好的结果.文献[8]研究了城市交通信号的迭代学习控制问题，进一步研究控制作用对路网宏观基本图的影响.文献[9]设计迭代学习边界控制策略，用于缓解城市中心区域的拥堵问题.

值得指出的是，上述快速路交通系统迭代学习控制策略均是实时的，也即控制手段不间断地作用于受控系统.但在现实中，这是较难以实现且不经济的控制手段.从现实角度出发，如何合理的、经济的对快速路的车流量进行控制，是一个值得思考的问题.脉冲控制方法具有所需能量少，控制响应速度快，并且有较强的鲁棒性和抗干扰能力等优点，得到了人们的关注[10-14].关于脉冲系统的迭代学习控制研究已经有了一些结果[15-16]，已有文献的研究成果为本文的研究提供了思路和方向.

考虑到脉冲控制是一种更符合实际，节约能源的一种控制手段，本文将结合脉冲控制与迭代学习方法设计控制策略，并进一步研究设计的控制策略对快速路上车流量的影响.与之前研究不同之处在于本文考虑的系统是连续的微分系统[7]，但设计的脉冲迭代学习控制策略是基于脉冲控制.然后通过数学证明，给出控制算法收敛的充分条件，最后通过数值仿真说明理论的有效性.

2 问题描述

与文献[6]相仿，仍然考虑快速路主干线上只存在一个入口匝道的某一段(见图1).其中，L表示该段路的长度，ρ(t)表示t时刻交通流密度，单位是veh/(lane·km);q(t)表示t时刻该段快速路车辆的流出量，单位是veh/(lane);f(t) 表示上游快速路进入快速路主道交通流量，单位是veh/h;u(t)是入口匝道进入快速路主道的交通流量，单位是veh/h，r(t) 是从辅路进入匝道的交通流量，单位是veh/h;σ(t)是匝道上车辆排队长度，单位是veh;在Δt内，车辆密度从ρ(t)变化到ρ(t+Δt).

图1 快速路交通示意图.

基于图1，文献[1]以及文献[7]可得系统的动态模型为：

(1)

其中，vf表示自由流速度，也即是密度为0时的车流最大行驶速度，单位为veh/h，ρm是主道最大交通流密度，单位是veh/(lane·km). 初始条件为

ρ(0)=ρ0，σ(0)=σ0.

(2)

(3)

这里γ∈为学习增益参数.

3 主要结果

在介绍主要结果之前，首先介绍相关的符号说明、假设以及相关引理.在文中，函数g:J→的λ范数定义为为绝对值. 另外，λ范数有性质：

引理(脉冲Gronwall不等式) 对t>0，如果下列不等式成立：

其中，x,a∈PC([0,),+)，a(t)是单调不减函数且b,ζp>0，那么有

假设1上游快速路进入主道的交通量与迭代次数无关，即fk(t)=f(t)，k=1,2,….

假设2迭代学习过程满足ρk(0)=ρd(0)，ρd(0)为主道路交通流的期望初始值.同时，存在期望输入控制ud(t)，使得系统状态经过迭代后在有限时间内跟踪到期望状态ρd(t).

证明

ek(t)=ρd(t)-ρk(t),

根据脉冲微分方程定性理论，可知对ρd(t)与ρk(t)，下述等式成立：

结合假设1，假设2以及控制律(3)，并注意到ρd(s)+ρk(s)≤2ρm，可得

对上式取绝对值有

(4)

其中，δuk(t)∶=ud(t)-uk(t).另外，

(5)

结合式(2)和式(3)可知

故式(5)可化为

进一步有

(6)

结合式(4)和式(6)与引理，可知

从而对于充分大的λ，有

定理得证.

4 数值仿真实证

考虑只有一个入口匝道的一段单车道高速路，长度L为10 km.沿快速路主道车流行驶方向进入研究路段的车流量是f(t)=185(1+0.2sin 0.0025t)，设研究路段主道上的最大交通流密度是ρm=60 veh/(lane·km)，期望交通流密度函数为ρd=30sin(0.2πt)+30 veh/(lane·km)，初始交通流密度为ρ0=30 veh/(lane·km)，自由速度vf=120 km/h.J=[0,10] min ，t1=3 min ，t2=6 min，t3=9 min，Wp(ρk(tp))=0.01ρk(tp),p=1,2,3.另外，设脉冲迭代控制策略(3)中u1(t)=0，γ1=60,γ2=1，则定理条件满足.

快速路主道交通流密度跟踪变化图及其迭代学习误差变化图如图2所示

t/min

迭代次数

由图2和图3可知，主道交通流密度随着迭代次数的增加渐近地收敛到期望交通流密度函数,该数值仿真实证同时也说明了该脉冲控制策略的有效性.

5 结 论

基于快速路交通常微分模型并结合脉冲控制与学习控制的特点，本文设计了一种脉冲迭代学习控制策略.首先通过严格的数学方法，证明了提出的控制方法可以使得交通流密度随着迭代次数的增加渐近地收敛到期望流密度.另外，可通过调节参数γ2以及适当增加脉冲控制的次数可以使得误差快速收敛于0，从而有效缓解交通拥堵，缩短拥堵时间. 在一个控制周期内，结合当地实际情况，适当增加脉冲控制的次数，也能缓解交通拥堵，缩短拥堵的时间.数值仿真实证进一步说明了所提出方法的有效性.