电磁感应中关于安培力做功与电阻发热量关系的讨论

陆 球

(常熟市教育局教研室,江苏 常熟 215500)

图1

在选修3-2第4章“电磁感应”的教学过程中,能准确分辨电磁感应现象的两类情况:感生和动生,并熟练掌握其分析解决方法,是日常教学的重点和难点．“棒平动切割磁感线”是一种常见的“动生”模型,最基本的模型结构如图1所示:两根光滑的金属导轨平行水平放置,导轨的左侧接有阻值为R的定值电阻,一根长度为L,电阻不计的金属棒AB,垂直放置在导轨上,整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,现让金属棒AB以初速度v0开始向右滑动．

在该模型中,由于安培力的作用,金属棒AB向右做减速运动,在此过程中,根据能量守恒可知:金属棒AB减少的动能转化为电阻R的发热量,即-ΔEk=QR.再根据动能定理可知W安=Ek.可得W安=-QR.

因此可以得到结论:“金属杆克服安培力做的功等于系统电阻上的发热量”．但该结论能否推广至一般情况?在感生情况下是否还适用?是否存在限制条件?本文将用两种方法来讨论该问题．

方法1:利用动生电动势产生的微观机制来讨论.

对于金属杆AB,考虑杆中的一个电子,其带电量荷为e,假定某一时刻金属杆的速度为v,由于金属杆运动,故电子受到洛伦兹力f1的作用,满足

f1=evB，

(1)

方向向下(如图2所示),因此金属杆A端带正电,B端带负电,这就是动生电动势产生的本质,电子所受洛伦兹力f1为产生动生电动势的非静电力．

图2

另一方面,由于电子沿杆方向上有定向移动,故其还受到另一洛伦兹力f2的作用,令电子沿杆方向上定向移动的平均速率为v2,则洛伦兹力f2满足

f2=ev2B，

(2)

方向水平向左(如图3所示),由于洛伦兹力一定不做功,故

W1+W2=0，

(3)

其中W1与W2分别表示f1与f2做的功.

现考虑多个电子的情况,令金属杆横截面积为S,单位体积的电子数为n,则

Nf2=nSLf2.

(4)

将(2)式代入(4)式可得

Nf2=nSLev2B.

(5)

由电流的微观定义式可得

I=nSev2.

(6)

将(6)式代入(5)式可得

Nf2=ILB=F安.

(7)

可见金属杆内所有电子所受洛伦兹力f2的叠加即为金属杆所受安培力,则

W安=NW2.

(8)

同时,由于洛伦兹力f1为产生动生电动势的非静电力,若E电表示金属杆产生的电能,则

E电=NW1.

(9)

由(3)、(8)、(9)式可知

W安=-E电.

(10)

讨论: (1) 由上述过程可知,(10)式在仅有动生电动势的情况下才成立,因为当有感生电动势时,电源中的非静电力除了洛伦兹力f1外还有涡旋电场力,此时E电≠NW1,故(10)式不成立．

(2) 若外电路为纯电阻时,电路消耗的电能均转化为电阻发热的内能,满足

E电=QR.

(11)

故由(10)、(11)式可知W安=-QR.即金属杆克服安培力做的功等于系统电阻上的发热量.

方法2:利用积分运算来讨论.

规定金属杆前进的方向为正方向,初始时刻t=0时x=0,则

(12)

由(12)式可得

(13)

(14)

可见,利用积分运算也可以得到相同的结论．

总结:由上述讨论可以得到结论:在仅有动生电动势的情况下且外电路为纯电阻时,金属杆克服安培力做的功等于系统电阻上的发热量．