构造函数巧解题

张蒙蒙

函数是数学中非常有用的工具，通过构造函数可以解决一些用其他方法难以解决的问题。常用的函数模型有：一次函数模型，二次函数模型，指数函数模型，对数函数模型，幂函数模型，三角函数模型，但更多情况下是具体情景得出的非标准模型的函数。

一、构建函数解决问题的一般过程如下：

1、根据具体条件和结论，通过认真分析，思考，抽象出需要的函数模型。

2、根据需要研究函数的单调性，奇偶性，周期性，最值等性质中的一项或几项。

3、利用研究所购建函数的性质得出需要的结论。

二、利用函数模型解决的问题多种多样，下面是中学中常见的几种类型：

1、利用单调性得出等式：若 在某个区间上是单调函数，对于该区间上的两个实数 ，则 。

2、利用单调性得出不等式：若 在某个区间上是单调增函数，对于该区间上的两个实数 ，则 ，对于单调减函数可进行类似的推理。

3、利用最值得出不等式：若 在某个区间上有最小值 （或最大值 ）则对于该区间上的任意实数 ，都有 （或 ）。

三、例题展示：

例1、已知 ，求证：

解析：由已知得

设 ，则 ，已知条件变为

又

所以 在 上是单调增函数

则由 可得 ，即 。

点评：本题的关键是将条件变形，然后注意到等式两边有相似的结构，因此构造函数 。

例2、定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立， ，则 的大小关系（ ）

解析：由题可以有 ， ，

令 ，则 =

且

则 在 为增函数，可得 ，选A。

点评：通过观察 的结构特征，构造了函数 ，利用函数的单调性得出结论，特别注意对 的处理。

例3、函数 的定义域为 ， ， ，則 的解集为（ ）

解：令 ，则

即 在 上单调递增

解不等式 即解

所以有 即

点评：由 可以联想到原函数可为 的形式。

四、举一反三

1.已知函数 是定义在实数集 上的奇函数，且当 时， 成立，（其中 是 的导函数）。若 ， ， ，则 的大小关系.（ ）

A. B. C. D.

2.已知 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意的正数 若 ，则必有（ ）

A. B.

C. D.

3.设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， 则不等式 的解集是（ ）

A. B.

C. D.