“隐圆”发现之旅

郜杰翔

最近我做到这样一道题目，思考了很多，很受启发．跟大家一起分享．

例已知△ABC的三边长为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________．

三角形面积的问题首先想到的是面积公式的选用，常用面积公式有和

图1

方法二：常规处理方法还有依据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC和面积公式借助a，b对称的特征，进行适当的变形处理，可以得到S的取值范围：

此时，进一步求解的难度很大．作为填空题，在万不得已的情况下只能连蒙带猜．

由a，b对称，令a＝b，

用这两种方法能得到结果确实都不容易，其实如果将条件a，b，c中的一个量看作是常量，那么条件就变得相对熟悉．例如将c看作常量，则有CB2＋CA2＝8－2c2，即动点C到两个定点A，B的距离平方和为定值，由此本题还有一种看似普通却非常神奇的做法——解析法．

方法三：以边AB的中点O为原点建立平面直角坐标系xOy，

注：本解法先将c视作常数，然后进行求解．

【课本探源】

（苏教版选修2-1P．64习题2．6（2）第1题）已知线段AB长为2，动点M到A，B两点的距离的平方和为10，求M的轨迹方程．

这道课本题，相信同学们都能自如地运用解析法求解．我们不难发现上述模拟题可以转化为：

已知线段AB长为c，动点M到A，B两点的距离的平方和为8－2c2，求M的轨迹方程．

【构建模型】

从上述研究中，不难发现如下结论：

若线段AB长为定值，动点M满足MA2＋MB2＝λ（λ为定值），则M的轨迹为圆．

特别地，当λ＝AB2时，M的轨迹为以AB为直径的圆．

【本质探索】

那么为什么“线段AB长为定值，动点M满足MA2＋MB2＝λ（λ为定值），则M的轨迹为圆”呢？

【模型应用】

1．已知A，B为平面内的两个定点，且AB＝2．若在平面内存在唯一一点P同时满足：①，②PA2＋PB2＝λ（λ∈R），则λ的取值集合为____________．

答案：

分析：该题条件①属于我们所熟悉的阿波罗尼斯圆，如果知道条件②也可以转化为圆，题目就变成了圆与圆的位置关系问题，利用几何关系巧妙得解．

2．已知圆O：x2＋y2＝4，点P（0，1），圆上的两动点A，B满足PA⊥PB，AB的中点记为M，则PM的取值范围为________．

答案：

分析：这道题看似无从下手，实际上也只是上述模型的变形而已．

由题意知，该题的定点是O，P两点．

根据圆的性质，OM2＋MA2＝OA2＝4．

又△APB是直角三角形，M是斜边AB的中点，所以MP＝MA．

所以OM2＋MP2＝4．即上述模型，从而巧解上述问题．

总结在考查上述模型时，命题人总会想方设法将条件进行“着装打扮”，隐藏我们熟知的圆，这就需要我们揭开题目“神秘的面纱”探索本质．

【模型推广】

1．如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB＝BC＝2，过动点P作半圆的切线PQ．若，则△PAC的面积的最大值为________．

图2

答案：

而PQ2＝OP2－1，

则PC2＝2OP2－2，即2PO2－PC2＝2．

思考：此时O，C均为定点，动点P满足上述关系式时，其轨迹是圆（或半圆）吗？

通过求轨迹方程的一般步骤不难得出，答案是肯定的．

由此得出

分析：这道题难住了很多同学，他们在考虑三角形面积如何表示时陷入了僵局．然而这个题目里也隐藏着一个美妙的圆．

记半圆的圆心为O，则OQ⊥QP．

推论1若线段AB长为定值，动点M满足αMA2＋βMB2＝λ（λ为定值且α＋β≠0），则M的轨迹为圆．

只要以AB中点为坐标原点，运用解析法就可以证明此推论．

2．（2017年江苏高考卷第13题）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若，则点P的横坐标的取值范围是________．

答案：

分析：尽管条件中线段AB长仍为定值，但另一条件却变成了．我们先退一步想，动点P满足时，其轨迹是圆（或半圆）吗？

答案也是肯定的！

又AB是定值，可得|AP|2＋|BP|2＝220是定值，

则该模型又回到了最初的模型．

由此得出

推论2若线段AB长为定值，动点M满足（λ为定值），则M的轨迹为圆．

特别地，当λ＝0时M的轨迹为以AB为直径的圆．

此推论可用求轨迹方程的基本方法证明，且本质与原先的模型相同．

【模型启示】

许多试题的命制思路都是从同一类式子出发，本质都是一样的，只是表达的形式不尽相同．这就要求我们学会“透过现象看本质”，应对复杂问题才能挥洒自如．