理清概念，把握实质

翟爱国 沙国祥

有人说：学数学就是玩数学概念的．无论多难的题目，最终都会回归到课本上的基本概念．概念，是我们思维、判断的细胞！尤其在做错有关概念的题目后，应及时翻开课本，进一步理解、巩固基本概念．首先应注重“看”：把课本上与错题相关的概念完整地看一遍，看清概念是怎样严格而简练地叙述的，其作用是什么；其次还应注重“想”：想清楚为何要引进这个概念，概念的本质是什么，关键词有哪些；最后更应注重“练”：挑选部分有代表性的、含有这类概念的习题演练一遍，体会如何运用概念解决问题．例如，

下列说法中，正确的有几个？

（1）周期函数必有最小正周期；

（2）因为cos（π＋1）≠cos1，所以π不是函数y＝cosx的周期；

（3）函数y＝sinx在（0，＋∞）上是周期函数；

（4）周期函数的图象每隔周期区间长度重复出现．

同学们，你认为有几个正确？正确答案为3个．（2）（4）的正确性容易判断．（1）（3）哪个对呢？我们一起回归课本．课本上函数周期性的概念是这样表述的：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

根据函数周期性的定义可知，函数y＝sinx，存在一个非零的常数T＝2π，在定义域（0，＋∞）内的每一个x值，都满足f（x＋2π）＝f（x），所以函数y＝sinx在（0，＋∞）上是周期函数，因此（3）正确．许多同学出错的原因是，没有从概念出发来判断，而是武断地认为，如果是周期函数，它的定义域（0，＋∞）的左端不应该是有界限的．其实有些教辅用书上也有关于函数周期性的错误结论．比如：周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期．这里忽略了这个结论的前提是函数的定义域必包含元素±T，±2T，±3T，±4T，……但像y＝sinx，x∈（0，＋∞）这样的函数的定义域并不包含－2π．

（1）对吗？课本上没有说周期函数必有最小正周期，实际上并不是所有的周期函数都有最小正周期的．例如，任意的非零常数都是常数函数f（x）＝c（c常数，x∈R）的周期，但因为正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期．

一些同学考试时，思维不严谨，也会出概念方面的差错．又如这样一道题：

函数y＝|tanx|的最小正周期是_________．

有的同学错解为：

因为函数y＝tanx的最小正周期是π，所以函数y＝|tanx|的最小正周期是

由于受思维定式的影响，有的同学有一种不好的解题惯性：凡是题目相似的，都可以套用结论，不对题目认真分析、感悟题目的细微变化，从而看不清题目中包含的概念或原理的实质．

在学习正切函数的周期性之前，研究过函数y＝|sinx|的周期性，由其图象可知它的最小正周期是函数y＝sinx最小正周期的一半，由此类比作出推理：y＝|tanx|的周期就是y＝tanx周期的一半．其实这是错误的，我们可以作出函数y＝|tanx|的图象，发现其最小正周期为π，与y＝tanx的周期一样．错解引发我们注重思维过程，如本题中借助图象来澄清周期的概念，而不轻易套用结论．在数学反思中，批判性思维对把握概念的本质有着不可低估的作用．

怎样才算是透彻理解和灵活运用一个概念？主要是看我们能否将概念进行类比迁移．我们看一个例子：

已知定义域为（0，＋∞）的函数f（x）满足：①对任意x∈ （0，＋ ∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立；②当x∈ （1，2］时，f（x）＝2－x．给出如下结论：

① 对任意m∈Z，有f（2m）＝0；

② 函数f（x）的值域为［0，＋∞）；

③ 存在n∈Z，使得f（2n＋1）＝9；

④ “函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k＋1）”．

其中所有正确结论的序号是________．

本题的函数f（x），只给出了一小段区间上的解析式，十分抽象．在不了解题目中数学对象的特点和规律时，如果盲目硬做，势必如雾里看花，水中望月．因此，现在解题的大方向是：了解这个函数，找出其特点和规律．

仔细观察，可以发现条件①f（2x）＝2f（x）很像周期函数的条件f（x＋2）＝f（x），因此，我们可以将周期函数的概念进行类比迁移．类似于周期函数，由一个周期中的函数值和函数性质可以推知其他周期中的函数值和函数性质．借助条件②，根据已知的一个小区间上的函数表达式，由近及远，推而广之，探寻规律．

由此，我们找到规律（一般模式）：

当x∈（2m，2m＋1］时，f（x）＝2m＋1－x，其中，m＝0，1，2，…

如果我们作出f（x）的图象的草图（请你自己作），则更可以把f（x）的真面目看得真真切切、明明白白！由此不难判定正确答案是①②④．

在复习知识时，还要理清概念之间的联系，把握哪些概念是基本的、核心的，哪些概念是派生的．例如，

（根据湖北省高考试题改编）定义在（－∞，0）∪ （0，＋∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列｛an｝，｛f（an）｝仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在 （－∞，0）∪（0，＋∞）上的如下函数：

①f（x）＝x2；②f（x）＝2x；③④f（x）＝ln|x|．

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为________．

这道题把函数概念、等比数列概念融为一体，揭示了二者的联系，同时引入了一类新的函数的概念：“保等比数列函数”．

初见此题，你会对其中的新概念觉得陌生，其实只要以第①个函数f（x）＝x2探路，它相当于问：已知等比数列｛an｝，则各项平方后所得数列是否为等比数列？呵呵，原来不过如此！这类题目你一定做得很多，关键是运用等比数列的概念去判断；又如第③个函数也可保数列等比性不变；由第④个函数f（x）＝ln|x|生成的数列｛ln|an|｝则是等差数列，一般不是等比数列，由此可以真正理解为何等比数列与等差数列有很多类似的性质，它们通过对数概念和对数运算的性质密切联系在一起；第②个函数也可根据新的概念推知不是“保等比数列函数”．这里，要充分理解函数概念的本质与作用：“对应”，更准确地说是“变换”，即给出一个等比数列，对所有项进行平方（或开方、取对数）等变换，得到一些新数列，其中有些新数列还是等比数列，有些则不是．本题要求考生对函数、数列、对数的概念、作用以及几种基本初等函数的性质有深刻的理解，并具有综合运用函数、数列知识解决问题的能力．

柏拉图说：“优秀是一种习惯．”好的思维习惯使人终身受益．希望同学们能养成用概念思考的习惯！