备课轴：小学数学结构化教学设计实务

毛文波，吴玉国

（1.淮安市实验小学长征校区，江苏 淮安 223300；2.南京市游府西街小学，江苏 南京 210002）

备课，教学常规工作，本应充满创造，现实常常以简单处之，失去了备课应有之意。备课轴，作为基于认知学习等理论的小学数学结构化教学设计实务，努力使备、学、教、研成一整体，师生共生长。本文从结构化学习的视角就备课轴的要义、价值、各元素及关联等展开讨论，结合实例，探索操作路径。

一、备课轴设计的理论溯源与模型

1.小学数学结构化教学设计的内涵

小学数学结构化教学设计，就是教师对将要进行的数学教学活动所涉及的各种影响教和学的因素进行整体关联的活动准备，是基于学生认知结构，学情、学理、学材、学程、学法和学评于一体的各种元素有效融合的教学方案（学评本文暂不讨论）。备课轴是它的基本表现形式，也是结构化设计的核心理念体现，多维性、多向性、关联性、整体性是它的显著特点，使备、学、教、研，理论与实践成为一体。

2.教学设计理论与结构化教学设计关系模型

（1）教学设计理论

在现代教学设计理论发展过程中，学习理论或学习心理学、教学理论和传播学理论构成了教学设计的理论基础，并用系统化方法将这些理论转换成教学的系统化过程[1-2]，教学设计成为一个理论与实践相结合的有机整体。结构化教学设计成为可能。认知学习理论和建构学习理论对教学心理和教学设计产生着重要影响，它是小学数学结构化学习研究的重要理论支撑，学生认知结构是学习的基础，知识结构的学习又促进认知结构的完善与发展。现代教学理论最具代表性的有发展性教学、结构主义教学、范例教学，这三种理论都将学生的“学”置于学习的中心，教师充当设计学习的支架和学习过程中的引导者的角色，思维能力的培养与素养的发展是教学的终极目标。从传播学的角度看，教学是一种信息传播的活动。传播过程不是单向“注入”，而是双向“互动”的过程。[3]理论紧密联系实际，理论才能更好地服务于实际，并促进理论的发展。当然，“课标”提出的理念、核心素养的相关要求也是教学设计必须考虑的要素，在设计中都应关照。

（2）结构化教学设计关系模型

现代教学设计是用系统化的方法将教学过程中的各元素进行结构化，形成一个有机整体，这也是结构化教学设计的出发点。教学系统方法，涉及教学过程中的教师、学生、学习内容、媒介、方法、环境等有机结合起来的整体，即成一个系统，教和学是两个重要子系统。“教”中的要素有教师、教学内容、媒介、方法等，“学”中的要素有学生、学习经历经验、学习动机、学习态度、学习行为、认知水平等。这是教学设计的两条显性的子系统，还有隐性的子系统，如教的系统背后做支撑的教学理论和学的系统背后做支撑的学习理论等。教学设计的重要内容就是根据教学目标设计出达到教学目标的最佳教学流程，在此过程中，以学的结构为中心，教师教的结构支持学生的学，两者动态平衡，指向学习对象的素养发展。

教学设计的基础理论和结构化教学设计的子结构之间的关系模型如图1。从模型可以看出结构化教学设计是心理学、教育、教学理论基础上的系统化建构，由几个密切联系的子结构构成一个整体，指向人的素养发展的教学目标，所以，结构化教学设计是现代教学设计理论的具体化。

图1

3.备课轴是结构化课时教学设计模型

（1）备课轴是小学数学结构化教学设计的实务

经过一年多的实践，我们探索出一条路径，将教学设计中的相关元素及各子系统进行结构化，使理论看得见，认知循得着，核心素养培养能落地，这就是备课轴，基于结构化学习课时备课轴模型，如图2。

图2

教学的中心轴是从现有的思维水平走向已生长的新一级（稍高一级）的思维水平。郑毓信教授曾明确提出“通过数学帮助学生学会思维”[4]，许卫兵老师也提出数学教学要以“思维为核心的数学素养导向”[5]。思维结构的发展是以学与教的不断互动、循环、关联、连续、螺旋上升的过程，形成主干轴，以知识结构为载体，学生认知结构做支撑，遵循学习的规律。为便于操作，我们将结构化教学设计的备课轴分为五个子结构：知识结构、学的结构、教的结构、认知结构和思维结构，各个结构、对应环节及各元素间又有一定的关系，形成结构化设计模块，模块间又是紧密关联的。

（2）备课轴设计的理论分析与结构说明

认知结构是根，要准确把握。皮亚杰的认知发展理论认为：认知结构的过程，就是不断地同化与顺应之间不断平衡的动态过程。小学生处于具体运算阶段，此时“儿童思维运算必须有具体事物的支持，有些问题在具体事物帮助下可以顺利获得解决。离开了具体事物，儿童则难以解决问题。”[6]对于每一课的学习，学生认知基本上经历这样一个过程：由感知觉引发注意，经过回忆、再认，与旧结构发生联系，在已有经验、经历、知识结构分析理解的过程中多元表征，经历概括、抽象、判断、推理，使顺应与同化达到动态平衡，形成新的认知结构，然后应用获得的新结构解决现实问题，使新旧结构形成一体，并成为以后的新结构的发展基础。

知识结构是基，要结构网络。这里的知识结构包括课时知识结构、它相关领域的结构、单元知识结构、跨年段的知识单元结构、后续知识结构等。课时知识结构是一课的重点，要找到知识各元素及关系，这是知识的内部结构；同时教材要横着分析，看到外部的结构，这一课在单元、一册中的结构，找到这一课前面知识结构基础和后续发展结构之间的关联处；由内而外，由横向纵，由点到线、面、体。层层推进，不断深入，形成新的知识结构，在整体应用中实现文化提升。

学的结构是主体，教的结构是推手。学与教就像一片树叶的两面，学与教都是基于学生的认知结构与学生的年龄特征。学的结构是：连续旧知——关联元素——关联抽象——循环应用；与之相对应的教的结构是：创设情境——组织探究——抽象建模——深度关联。对应环节，互动生长。

思维结构是目标，不断发展和完善。思维结构是主体能动认识世界所建立的概念、判断、推理的框架及其相互联结、转换和互动的形式。[7]思维过程主要经历：直观思维——程序思维——抽象思维——形式思维。可见教、学活动的结构对思维结构会产生重要影响，因为“思维是连贯有序的”。设计时准确把握学生的数学现实，在一系列主干问题驱动、认知活动作用下，促使学生形成新的数学现实，思维得到发展，使知识结构转化为学生认知结构。

（3）备课轴的实践价值与意义

备课轴改变了以往的备课模式，既有过程，也有理有据；既知道“在哪”，也明白怎样“到那”。我们认为结构化教学设计具有以下价值：

结构学情，从模糊走向精准。对学前的现实状态有一个系统的、整体的了解，实现精准预设。主要途径有调查、访谈、观察等。

结构学材，从教材走向学材。在尊重学生的认知规律、个性发展的基础上，整合适宜的资源，删、减、调、增等结构适切的学材，做到尊重学生自然建构起知识、能力及情感。

结构学理，从知识走向素养。通过对小学生认知结构、知识结构深度分析和实践融通，让学生经历数学认知的完整过程，主动建构数学知识的完整样态，促进数学学习的深度自然发生，实现多维数学素养的全面发展。[8]

结构学程，从单一走向综合。小学数学结构化学习的学程设计是以知识学习为明线，设计教的结构和学的结构，经历直观情境——程序探讨——抽象表达——形式演进，主干问题由问题冲突——探究突破——建模突围，各个要素，点上关联，纵横成网。

二、小学数学结构化教学设计的实践解析

下面以“圆的认识”为例，从圆的知识结构、结构化模块、学和教的流程设计、备课轴等几方面（限于篇幅学情、学理略），解析如何建构“圆的认识”教学设计。

1.“圆的认识”知识结构分析

“圆的认识”知识结构我们从三个方面进行结构化分析，具体结构如图3、图4、图5。在横、纵，内、外比较中准确把握“圆的认识”这课在单元、本册、小学阶段前延后续，准确理解本课的地位与作用，为学生更好的学习打下坚实基础。下面我们以“圆的认识”所在课时知识各元素内容纵向关联与学习过程各要素的整体关联结构进行简要的分析：教材编排的顺序是“识圆——画圆——概念——特征与关系”，与之相对应的学习过程则是经验经历中识圆——动作技能中体悟圆的相关联特征——概念圆的各部分名称——用概念表征圆的特征及关系。对应于学情调查，这个序可以根据学生的认知结构进行调整。

图3 所在课时知识各元素内容纵向关联与学习过程各要素的整体关联

图4 单元内知识例题块纵向关联与知识内部数学领域的整体关联

图5 知识所在单元与跨年段相关知识单元间的结构关联

2.“圆的认识”学程结构化模块设计与说明

下面从结构化教学设计的五个子结构，依据教学的流程，分别介绍“圆的认识”学程设计与说明。

（1）生活实境引起直观思维

【结构化模块】（参见图6）

图6

【学程设计】

1.回忆：生活中你见过圆吗？圆在哪里？（课件展示，动画抽象出圆形）

2.感知：学生摸一摸教具圆及圆面，并比划圆的围成，说说对圆的初步感受

3.比较：我们已学过哪些图形？圆与这些图形相比有什么不同和联系？

【设计说明】

布鲁纳认为，学习的实质是一个人把同类事物联系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。通过比较圆与学过的其他图形，在差异中突出了圆的属性。在相同处新旧知识发生联系，不同处突出了各自内涵特质。

（2）点线面体引发程序思维

【结构化模块】（参见图7）

图7

【学程设计】

4.折圆：（学生）将手中的圆形纸片对折一次，有什么发现？对折两次呢？能对折多少次？观察折痕有什么发现？

5.小组内交流发现，再全班汇报

预设：对折一次，发现圆是轴对称图形；对折多次还完全重合，发现它有无数条对称轴；观察折痕，发现都相交于一点，且都相等。

6.概念圆的各部分名称

这些折痕的交点叫什么呢？能起个名字？这个折痕也能起个名字吗？直径有什么要求？（介绍圆内、圆外、圆上三个概念）

7.判断：圆中哪些线段是直径

引出半径及与直径的关系，并验证。

比较两端都在圆上的线段的长度，有什么发现？

8.符号表示：用字母表示圆心、直径、半径及关系

9.完成学单：在圆中标出圆心O，画出半径r，直径d,并量一量它们的长各是多少厘米

比较：小圆与大圆的半径和直径长短关系。

【设计说明】

“儿童的智慧在他的手指尖上。”操作有助于学生对概念、图形特征的理解和深化。对称是学生原有的知识结构，多条对称轴的交点及对称轴的命名则是新知，学生需要调用已有的概念经验来顺应和同化。由概念到符号化是学生思维的一次提升，是思维的“凝聚”，使思维进入一个形式阶段。在比较小圆与大圆的半径与直径关系过程中，判断、推理得到有效发展，使思维借助具象进入演绎层面。

（3）多元表征开启抽象思维

【结构化模块】（参见图8）

图8

【学程设计】

10.直尺画圆

（1）（手中拿着直尺）我们用直尺能画长方形、三角形、梯形等线段围成的图形，用它能画圆吗？

（2）出示打有一个孔的直尺，并转动它。

（3）出示打有两个孔的直尺，启发——用它能画出圆吗？多孔呢？

学生说出它的使用方法，并试画圆。

比较谁画的圆大，为什么？思考：要画任意大的圆怎么办？

11.用圆规画圆

（1）看视频，自学使用方法。

（2）学习单：用圆规画出半径为2.5厘米的圆，再画出直径为4厘米的圆。再比一比它们的大小。

【设计说明】

在多元表征理论支持下，对圆的特征的深刻认识是从画圆动作开始，体悟圆的本质特征，形成圆的表象后，进一步思考影响圆大小的关键元素，向概括、推理、命题、证明的抽象思维阶段发展。用直尺画圆，既关联了画图形的旧知，也引发了认识冲突。学困于疑，在画直为曲的过程中，学生思维步入了圆规思维，即定长，旋转一周即成圆。工具有力支撑了学生思维的发展。

（4）实践应用展现形式思维

【结构化模块】（参见图9）

基于以上对“圆的认识”这课的解构，备课五个方面的模块化结构、学程设计与之相关的设计分析与说明，这课的备课轴结构模型如图10。

图9

图10

【学程设计】

12.新旧图形关联

如果让你从学过的图形中给圆找个朋友，你打算找谁？说说理由。

动画演示方变圆和圆变方的动态过程。

13.知识应用

车轮为什么是圆形？窨井盖为什么大都是圆形？

动画演示三种形状（正方形、椭圆形和圆形）的车轮滚动情况。

14.文化提升

理解墨子的“圆，一中同长也”的数学内涵。

15.回顾与反思

学习了“圆的认识”，把你想到的写在圆形纸片上。再小组交流，把你们认为好的内容选出，有序地排列起来。

【设计说明】

“方出于矩，圆出于方”，这是二千多年前我国劳动人民的智慧结晶，其中有丰富的文化内涵。而“一中同长”更是对圆本质的准确把握，应用知识解释圆形车轮、窨井盖，学生必须调用已有的认知结构进行分析、推理、证明，一系列的思维过程则是形式思维这一高级思维的具体体现，深化对圆本质特征的理解，思维更加深刻，关键能力得到有效培养。

3.“圆的认识”备课轴设计

从图中我们能够非常直观地看到，教、学、知识、认知、思维等各个部分及元素之间的整体关联，相互支持、促进学生整体发展的样态。

结构化教学设计，设计结构化，从单线走向纵横交错，立足儿童发展，向下扎根，师生共同向上生长。教学有轴，实践有向，不断循环螺旋上升，不背离初心，促进学生核心素养的培养。▲