序、根、魂：研读教材的三重境界

胡良梅

（江苏省运河高等师范学校附属小学北校，江苏 徐州 221000）

教材是教学内容的重要载体，是课程标准的具体化，是教师设计课堂教学的主要依据。教材为学生的数学学习提供了丰富开放的主题与素材、内容与结构、活动与线索，是学生获取数学知识、数学技能和数学活动经验、数学思想的重要资源。一线教师研读教材的能力，直接影响其自身专业的成长、知识传播的效度，也直接影响着学生数学概念的理解、数学思维的发展、数学思想的感悟。因此，如何研读教材，是具有深远意义的话题。本文试以具体课例为介，着重探讨研读教材的三重境界，以期给广大一线教师提供深度解读的途径和范例。

一、从整体到局部，理清教学内容的“序”

数学知识具有系统性，其知识体系存在“序”，教材编排也有一定的“序”。数学知识体系的“序”，是教材编排的一个依据，但同时，教材编排还要遵循学生的认知规律，因此，相关教学内容是螺旋上升、分散编排的。教材编排的序，包含整套教材之序、同板块教材之序、本单元教材之序，还有本课时活动线索之序。从整体—局部，从宏观—中观—微观，系统研读教学内容的“序”，有助于理清教材编排思路，高瞻远瞩，科学组织教学活动。

1.研读整套教材，明晰阶段教学的要求

“图形的认识”是“图形与几何”学习的基础，是其重要组成部分。以“圆的认识”研读为例，苏教版教材分为两段进行编排：第一段是在一年级下册，“直观认识长方形、正方形、三角形和圆”；第二段是在五年级下册“探索圆的特征，直观认识扇形”。

一年级下册的“直观认识圆”，通过从“体”分离出“形”的活动，安排学生照样子画一画、比一比，找一找、辨一辨，围一围、拼一拼，初步感受圆和长方形、正方形、三角形有明显的不同，体会圆的边是“弯”的，另外三个图形的边是“直”的。

五年级下册“圆的认识”，通过用线绳、圆规等不同方式画圆的活动，借助操作、观察、比较、想象、推理，深入探索圆的特征，认识圆心、半径和直径，体会圆上的任意一点，到圆心的距离是相等的，真正建立圆的概念。

2.研读单元编排，明确教学内容的节点

一个单元是由若干道例题组成的，这些例题按照一定的逻辑顺序组成学生认知发展的序列。整体把握单元编排的“序”，突出重点，分散难点，才能瞻前顾后，提高效率。《圆》单元共编排十一道例题，包含圆的特征、周长和面积。其主要内容及其前后联系见表1。[1]

圆是小学数学的唯一曲线图形，也是小学最后学习的平面图形。圆的认识是本单元的起始课，是重点学习的基础知识。本单元共安排11课时，圆的认识是3课时，第一课时教学例题1和例题2，例题后的“练一练”以及练习十三第1—3题。通常，每一课时的内容包括例题和随后的“练一练”，以及练习编排的相关题目，一般以“练一练”作为切分课时的节点。

3.研读课时内容，理清教学活动的线索

教材不是直接呈现静态的数学结论，而是引导学生经历知识的产生、发展与形成的过程。也就是说，指向一个个具体知识的数学活动是教材的重要组成部分，可以说，教材是教师“教路”与学生“学路”的有机统一。研读课时内容的线索呈现，能帮助教师研判教学重难点，有效安排教学活动。圆的认识这节课包含的知识点比较多，这些知识点之间存在着怎样的活动顺序呢？

例1安排了两个层次的学习活动。

第一层次，让学生从静态和动态两个层面充分感知图。

（1）观察日常生活中常见的几个圆形物体，激活学生已有的认知经验，初步抽象出圆的图形（静态的圆）；

（2）比一比，初步体会圆与多边形的异同；

（3）自主画圆，初步感知圆的基本特征（动态的圆）。

第二层次，结合学生尝试用圆规画圆的过程，分别介绍圆的圆心、半径和直径，进一步认识圆。

（1）试着用圆规画圆，在交流中明确用圆规画圆时需要注意的关键环节。

（2）借助画图的体会，理解圆心、半径和直径这几个概念，并用字母在图形上做具体的标注。

（3）在自己所画的圆上标出圆心，画出一条半径和直径，并分别用字母表示。

例2引导学生在操作活动中探索并发现圆的一些主要特征。

（1）教材首先给出了研究的方法和途径：任意画一个圆，折一折、画一画、比一比。

（2）交流明确圆的本质特征：同一个圆里所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径长度是半径的2倍。圆是轴对称图形。

以上是对例题活动线索的初步研读，此外，还有练习题编排意图的理解，这里不再赘述。

从“整套教材”到“一个单元”再到“一课内容”，是一个从整体到局部的研读过程，这个过程离不开《教师教学用书》的系统研读。“序”的研读，可以准确把握本课学习在知识技能方面的阶段性具体目标。

二、由定义到本质，关注教学内容的“根”

理解某一个数学概念，不能简单地局限于概念的文字表述，应通过专业化解读，回归本体，深入把握概念的数学意义。也就是说，一个概念的学习，最终目的不是为了记住定义，甚至把定义背得烂熟于心，而是要理解这个概念的本质。数学概念的本质，不仅指向明确的教学内容，知道“是什么”，还要指向知识之间的内在联系，思考“为什么”。不同的认知过程会形成不同的理解水平，若是单纯教学“定义”，其认知过程主要是模仿、记忆、强化，只能达成“工具性理解”；若是突出数学知识之间的本质联系，其认知过程则重在经历、感知、体验，就会形成“关系性理解”[2]。以“圆的认识”为例，学生在上课之前对圆的“直观认识”与“会用圆规画圆”，还只是工具性理解，通过进一步研读“是什么—为什么—有何用”，引导学生达成关系性理解，后期学生才能创造性地应用知识。

表1 “圆”的相关内容

1.询问本体“是什么”

几何图形的定义一般有三种形态：（1）点、线、面、体的组合；（2）点的集合；（3）运动的轨迹。分析圆的定义，理解圆的本质，可从以上三个方面入手，确定“圆是什么”。圆的几何学定义，在中学使用的是“集合”“轨迹”，即“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”，“圆是线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A的运动轨迹”。在小学没有“集合”“轨迹”等名词，也没有界定“什么是圆”，只是涉及圆的直观表象。其实，依据小学生画圆的动态过程，可以给出如下定义：让线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，我们把另一个端点A所画出的曲线叫作圆，点O称为圆心，OA称为半径。[3]这样的定义只用了“线段”“旋转”等术语，小学生完全能够接受。这个定义明确指明了圆的本体是一条曲线，是一维图形，具有周长。

2.叩问本源“为什么”

定义只能解释这个概念“是什么”，不能解释“为什么”。而“为什么”恰恰揭示了数学知识的创造过程及知识之间的内在联系。记住定义并不重要，重要的是理解概念的本源意义。学习“圆的认识”，从课前准备圆规开始，学生就已经在旋转把玩圆规，就知道用圆规可以画出一个圆。但是“为什么用圆规就能画出一个圆？”学生不知道。这样的叩问，可以直指圆的本源意义“到定点的距离等于定长”：圆规固定的一只脚相当于定点，圆规两脚间的距离相当于定长，围绕定点旋转一周，定点不动，定长不变，所以画出来的才是圆。“如何在篮球场上画一个更大的圆？”“还可以怎样画一个任意大小的圆？”这样的叩问，可让学生感悟画圆不在于是否必须用“规”，在于必须满足“定点、定长”这一圆的核心本质。“车轮为什么要做成圆形的？”等生活问题的进一步思考，则可再次凸显圆的本源意义：因为圆的所有半径都相等，即“一中同长”，所以圆形车轮车轴的运动轨迹始终在一条水平线上，不会颠簸，平稳舒适。

在几何学中，圆的概念，我国古代很早就有了研究。早在2400多年以前，我国春秋战国时期的数学家墨翟在他所著的《墨子》一书中写道：“圆，一中同长也。”说的是：“圆，有且只有一个中心，圆上各点到圆心的距离都相等。”“一中同长”是圆的本源意义，圆心、半径、直径及其特征等知识点都是由此衍生。

3.追问价值“有何用”

数学知识体系一直在发展，相关的数学知识浩瀚无边，为什么偏偏是这些数学概念和方法，一直需要儿童学习？没有这个概念和方法会怎样？立足宏大的视野，常常从知识价值的角度去追问，才能直抵知识的核心，把握知识丰富的价值意蕴。[4]为什么要研究圆？为了更好地认识、理解我们赖以生存的空间，也是为了后续的深入学习。我们每天居住、生活、工作的空间都离不开直观图形，圆更是随处可见，如我们生存的地球是圆球形的，还有水面上漾起的波纹、大自然盛开的鲜花、人类智慧的图案设计和建筑造型等，在一切平面图形中，圆是最美的。圆的学习，是数学知识体系中的重要一环，是曲线平面图形学习的发端，是后期学习平面几何、立体几何、解析几何的必备基础。当然，圆的学习过程中还蕴含着独特的数学思维、数学思想的价值。一句话，圆的知识自然、简单而且必要，具有不可替代的意义！

“根”的研读，是深刻理解概念的发生、发展过程，是彰显概念存在的合理性和必要性。透彻理解、精准把握、寻得根基，才能达成“用教材教”的境界，才能创造性地组织学习活动。

三、从知识到思想，关注教学内容的“魂”

基础知识和基本技能是教材编写的“明线”，而蕴藏在这些知识内容中的思维方法、数学思想，则是教材编写的“暗线”，是数学学科之魂。数学思想是对数学学科的本质认识，是数学内容逻辑架构的主线。学习一门学科就是学习领悟这门学科的思想方法。数学思想具有层次性，抽象、推理和建模，是数学学科三个高层次的基本思想，由这三个基本思想又可派生出许多低层次的数学思想[5]，因此，研读数学内容蕴含的数学思想，可从这三个基本思想入手进行细细研究。《圆》这个单元蕴含的数学思想方法有哪些呢？

1.抽象思想

数学研究的数量和图形都是抽象的内容，抽象思想在数学中无处不在，数学学科的建立依赖于抽象。符号化、分类、集合、对应、变中不变等都是与抽象有关的数学思想。[6]《圆》这个单元的学习，可渗透符号化、有限与无限等思想，如圆心、半径、直径、圆周率，分别用字母“O、r、d、π”表示，这些符号不仅具有明确的含义，还能参加数学运算和推理证明，具有抽象概括、简明精确的特点。圆的周长C=πd=2πr,面积公式S=πr2，这两个公式的探索和归纳过程，本身就是一个符号化和模型化的过程。圆的面积，只要确定半径，无论它的半径有多大，它的面积总是有限的，把有限的面积分成无限个全等的扇形，转化成长方形来计算面积，这是将有限问题转化成无限来解决，可渗透有限与无限思想，体现对立统一的辩证关系。

2.推理思想

数学学科的发展离不开推理，推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。此外，转化、数形结合、几何变换、极限等也都与推理有关。[7]《圆》这个单元的学习，可渗透归纳、转化、数形结合、极限等思想。如圆周率的探索，采用的是归纳法：通过计算几个大小不同的圆的周长与相应的直径的比值，发现规律，归纳圆周率。“以数解形”，探索圆周率、圆的周长等知识，从量化的角度研究圆，借助于数的精确性和可操作性深入认识圆的性质，是数形结合思想的渗透。把圆分成无穷小的无穷多个小扇形，无限逼近长方形，通过取极限得到面积，这个推导过程，同时蕴含了转化思想和极限思想，即“无限分割、化曲为直”对后续学习最具有价值，应重点孕伏。

3.模型思想

模型思想是通过数学结构化解决问题，更加注重建模和应用的过程。方程、函数、优化、统计等都是与模型有关的数学思想。[8]《圆》这个单元的学习，可渗透模型、函数等思想。如探索、理解圆的周长C=πd=2πr,面积S=πr2这两个模型，并能够运用这些模型解决问题，就是模型思想的渗透。再如圆的半径若发生变化，圆的周长和面积也会随着它的变化而变化，且两个变量之间存在着一定的对应法则，这就是函数研究的对应关系。

抽象，得到数学概念；推理，助推数学发展；模型，促进数学应用。数学知识和数学思想相互依存，但思想总是蕴涵在知识形成的过程中，教师需要用心挖掘数学知识之“魂”，才能提炼概括出隐藏的思想价值。还有一点需要注意的是，各种数学思想之间具有密切联系性和交叉性，因此，不必拘泥于形式，应重点指导学生感悟数学思想的魅力，为学生的思维发展和终身学习奠定基础。

教材研读是打造高效课堂的基础性工程。深度研读教材，把握教学内容的本质，是组织教学活动的根本。当然，有效的课堂教学还离不开研究学生的知识基础和生活经验，研究学生的思维现实和学习规律。希冀广大一线教师，可从认真阅读教本和教师教学用书入手，先厘清教材的“序”，再阅读教育教学刊物和教育专著，结合思考寻得“根”与“魂”，努力达到思维通透、运筹帷幄的境界。▲