几何直观：为儿童有效表征数学知识导航

李加树

摘要：《课程标准（2011年版）》明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。”借助几何直观可以把复杂的、数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直觀地理解数学，培养空间观念，发展逻辑推理能力，在整个学习过程中都发挥着重要作用。

关键词：几何直观；教学价值；认知建构

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）33-0121-03

徐利治教授认为，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。蒋文蔚教授则认为，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。这两种定义主要是基于数学和心理学角度阐释的。一般而言，几何直观就是指依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。学会用图形思考、想象问题是研究数学，也是学习数学的基本能力。教学中，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，有助于学生更好地感知数学、领悟数学，深化认知结构。

1.借助几何直观，培养空间观念

《课程标准》中“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”。侧重于刻画学习者对于空间的感知和把握程度，其培养贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务。重视图形与几何教学，有利于培养学生的空间观念，发展学生的空间想象力。在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。帮助学生逐步形成初步的几何直观，感受几何直观的作用。

例如，教学人教版六年级下册“圆柱的认识”，我们既可以通过课件演示，引导学生感知圆柱体的展开后的形状，也可以借助操作演示（剪一剪，包一包，画一画）帮助学生构建空间观念，使空间观念的培养落到实处、落到细处。首先将罐头盒的商标纸沿接缝剪开，再展开（如下图），

使学生认识到商标纸展开后的形状是长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。再把这个长方形重新包在圆柱上（如图2），请学生指出圆柱体的底面周长和高。从把圆柱侧面展开到再次包在圆柱上，可以帮助学生找到长方形的长和宽与圆柱底面周长和高的对应关系，为后续学习长方体的侧面积、表面积打下坚实的基础。

接着，再让学生在方格纸上画出圆柱体展开图，由实物直观抽象成图形直观，这个过程留给学生更多的空间去想象和思考，为学生提供了自主发现圆柱表面积计算方法的机会，而且有利于发展学生的操作能力、空间观念和空间想象力。

因此，在学习几何直观，就要采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念。

2.借助几何直观，发展逻辑推理能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。几何直观与逻辑推理是密不可分的，几何直观往往靠逻辑支撑，它不仅是看到了什么，而是通过看到的图形思考到了什么，想象到了什么。几何直观可以从图中感知性质，从图中写出关系。重视几何直观教学，不仅可以培养学生的逻辑推理能力，也能发展学生的几何直观能力。

如人教版五年级下册“找次品”，教学时，随着待测物品数量的增多，用试验的方法不但烦琐，而且不容易理清解题的思路，教师可引导学生采用图示、列表的方法来表示找次品的过程。

2.1 把棋子当成零件，假设其中有一个重一点。现在，不用天平，想象用天平称的方式，将次品找出来。也可以用数字卡片摆一摆，或用文字和画线的方式找出次品。（课件出示）

（1）9个零件怎么分？怎么称？称几次？

（2）至少称几次，就能保证称出次品？

（3）将大家摆或画的情况填入下表。

2.2 小组合作学习，探究找次品的最优方法。

2.3 反馈交流各种情况，教师填写下表。

2.4 寻找最优方法。

观察上面的表格，你发现了什么？

（1）“分成的份数”、分的方法与找出次品所要称的次数之间有什么关系？

（2）怎样分找出次品需要称的次数最少？

2.5 应用最优方法解决问题。探究找次品最优方法是本节课的重点也是难点。在探究的过程中，不再让学生用天平称，而是让他们应用画图、列表解决问题，进行推理思考，从直观到抽象，经历“实践操作——抽象推理——得出策略”，发现“将待测物品平均分成3份是找次品的最优方法”，经历由多样化过渡到优化的思维过程。这样的学习活动不仅发展了学生探究能力，而且情感态度与价值观也得到进一步的提升。

3.借助几何直观，渗透数学思想

数学思想作为数学精神的内核，源于知识和方法，但又高于知识和方法，是指导学生在未来的学习、工作中解决问题的行动指南。重视数学思想教学，可以为学生架设通往数学巅峰的云梯。小学数学教材中蕴涵了大量的数学思想，数学教师应该引领学生充分感悟数学思想的力量，领略数学的魅力。

例如，在教学“圆的面积”计算公式推导时，教材是引导学生把圆平均分成16份，拼成一个近似的平行四边形，初步感受转化的方法。再启发学生想象：如果把圆平均分成32份、64份……还是用与上面类似的方法去拼，拼成的图形会发生怎样的变化？结合32等份拼图以及省略号、虚线长方形等，使学生合乎情理地联想到：平均分的份数越多，拼成的图形就越来越接近长方形。为了让学生更直观的看出圆面积公式的推导过程，体会“圆——近似平行四边形——长方形”渐变过程。教学时，我设计了如下的教学过程：

3.1 动手操作。

（1）初步感知：教师演示将圆形纸片平均分成8份，拼成一个近似平行四边形。

提问：拼成的图形象什么图形？

追问：为什么说它象一个平行四边形？

（2）操作体验：学生用预先已经平均分成16份的圆，仿照教师的拼法拼一拼。

（3）观察比较：两次拼成的图形，有什么变化？

3.2 展开联想。

（1）初步想象：如果把圆平均分成32份、还是用与上面类似的方法去拼，拼成的图形与前面的图形相比将会有怎样的变化？

课件演示，验证学生想象。

（2）进一步想象：如果把圆平均分成64份、128份……还是用与上面类似的方法拼一拼，随着份数的增加，拼成的图形会越来越近一个什么图形？

（3）课件演示。

3.3 抽象概括。

（1）拼成的长方形与原来的圆有什么联系？

追问：如果圆的半径是r，长方形的长和宽各应怎样表示？

（2）根据长方形面积的计算方法，你认为怎样计算圆的面积？

……

这样设计，借助几何直观，采取先操作、想象、验证、再次想象、再次验证的思路，有机渗透了极限思想，有利于学生突破认识上的局限，感受把圆转化成长方形的合理性。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想、转化思想等更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数学之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

4.借助几何直观，理解数学本质

几何直观能利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是较好地理解数学本质的有效渠道。教学中，如果能将一些概念、定理与几何直观图形相结合，把抽象的概念情境化、具体化、简单化，再抽象出数学概念的内涵和外延，使学生更深入、透彻理解概念，体验数学创造性工作历程，开发创造激情，形成良好的思维品质。

例如，苏教版四年级下册“求一个数的近似数”，教材先让学生讨论男性和女性人数各接近四十几万，联系已有经验说一说并写出近似数。再向学生说明用“四舍五入”取近似数的方法。学生对“四舍五入”取近似数的方法不能正确理解。为了突破这个教学难点，我在教学“求一个数的近似数”时，设计了如下两个教学片段：

片段一：求两位数的近似数，了解“四舍五入”。

（1）怎样求一个数的近似數呢？本学期第一单元学了除法（出示教材的6页的例题），192÷39，你会把除数想成多少来试商？192÷32呢？

（2）39和32都是30多，为什么一个数约等于30，而另一个数约等于40呢？

（3）出示数轴，在30到40之间，还有哪些数约等于40呢？还有哪些数约等于30呢？

（4）35约等于多少呢？数轴上35—36之间有很多与35相关的小数，例如35.1、35.2等，这些数离30近些，还是离40近些呢？

（5）这种求近似数的方法叫做“四舍五入”法。

（6）如果数轴继续向两端延伸，还有哪些数也约等于40呢？还有哪些数约等于30呢？

片段二：求多位数的近似数。

（1）方洲小学校园占地面积大约4万平方米。方洲小学校园占地面积可能是多少平方米？

（2）学生独立思考，同桌互相交流想法。

（3）集体交流。出示数轴：

数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。“数”准确而抽象，“形”形象而直观。近似数的概念是比较抽象的，学生理解起来有一定的难度。笔者在引导学生理解“35为什么约等于40”这一难点时，借助了“数轴”这一半直观半抽象的工具，将抽象的数学语言与直观的“数轴”联系起来，在数轴上形象直观地进行解释，帮助学生直观理解近似数的含义和“四舍五入”法的本质。像这样化“数”为“形”，抓住了数与形之间的联系，以“形”直观地表达数，实现了抽象概念和具体形象、表象之间的转化，便于学生形象地理解数学本质，达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。可见，几何直观能帮助学生更好地认识数，训练思维，养成良好的数学素养。

几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相连。教学中，教师要善于借助丰富的学习素材，引导学生通过画、摆、圈、涂等形式，将抽象难懂的概念、定理直观的展示在学生面前，充分表达它们的具体含义，将思考对象“图形化”，用图形来表达自己的数学理解；教师要“有意识地提高几何直观的层次和水平，使学生的思维逐步过渡到以图形直观、符号直观为主的层次”，逐渐使几何直观内化为数学学习的一种思考方式和学习方式，进一步提高几何直观的意识和能力。激发学生的学习兴趣，提高学习效率，培养学生的数学直觉和数学思维，进而提高学生的数学素养。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准（2011年版）》S.北京 北京师范大学出版社 2011.

[2] 林晓捷.数学教学中运用几何直观[J].福建教育（小学版），2014（5）.

[3] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式[J].课程·教材·教法，2012（7）.