例谈导数应用常见的几个误区

湖北省武汉市八十一中学 方小兰

导数是高中数学中一个重要的知识点，也是热门考点之一。它在求极值或最值、求曲线的切线方程等方面有着广泛的应用，同时也是解决数列、不等式等问题的必不可少的工具，可是同学们在平时的练习中经常出现误区，下面结合实例逐一说明。

例1 （1）求函数 的最值。

误区1：设函数 的导数 为0，则有 ，所以函数 在 处有最大值或最小值。

分析说明：函数 在某一点处有极值是这个函数在这一点处导数值为零的既不充分又不必要条件，所以误区1直接由导数等于零来判断函数有极值是错误的。事实上，该函数在定义域范围内是严格单调递增的，它没有最大值和最小值。误区2直接由函数在某一点没有导数来判断在这一点无极值也是错误的，显然由函数图象知该函数在处有极小值。

误区3：利用导数求函数斜率，再由斜率得函数的倾斜角，混淆了斜率与倾斜角之间的关系。

分析说明：先求该函数的导数得 ，于是得出倾斜角 的范围为这是错误的。事实上，函数在时斜率不存在，但是直线的倾斜角的范围是 ，即倾斜角是可以等于所以 的取值范围为

例3 求曲线 过点P（1，1）的切线方程。

误区4：直接求函数导数得斜率，再由点斜式得出切线方程。

分析说明：没有区分过点P的切线方程与在点P处的切线方程，事实上，在求过点P的切线方程时,点P可能是切点，也可能不是切点。正确的解法为：设过点P（1，1）的切线方程为因此所求的切线方程为 或者是。