从“道、法、术、器”谈小学数学计算教学

温与寒

“道、法、术、器”出自老子的《道德经》，是道家所强调的四个层面。所谓“道”即万物变迁循环中亘古不变的规律，是灵魂，是方向，是指导思想；“法”是规则体系和方法原则，是在探求“道”的过程中经过实践思考和归纳总结得出的方法规则；“术”是在规则体系指导下的具体操作技术，只要“道、法”不变，“术”可千变万化；“器”是指有形的物质或有形的工具，也就是我们常说的“工欲善其事，必先利其器”。

仔细思忖，道家思想体系之科学、完善不禁让人拍案叫绝，万事发展皆离不开这四个字，小学数学计算教学亦是如此，道生法，法创术，术依法，更需要以器作为载体。笔者将从道、法、术、器四个层面谈谈对小学数学计算教学的认识。

一、 小学数学计算教学之“道”——道以明向

“道”之于计算教学是解决“为什么这样算”的问题，也就是我们常说的算理。算理即计算的原理或道理，它有两层含义：一是运算的依据，也就是每一步运算的道理；二是列式的依据，也就是某一个问题选择与其相契合的算法，是根据条件与问题的关联而确定的。其实这都解决了“为什么这样算”的问题。例如在人教版三年级下册两位数乘两位数的教学中有这样一道例题：每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？根据乘法的含义列出算式14×12，在推导算理的过程中教材上呈现了两种方法：

在研究算理时，要充分利用点子图这一直观手段，在交流中体会“先分后合”的解题思路，使学生的思维轨迹在点子图上留下痕迹，然后充分对比两种“分”的方式，优劣自现，第二种“分”的方法恰恰就是乘法竖式计算的基本思路，为下一步创造算法打好基础。在一系列的教学过程中不仅解决了“为什么这样算”的问题，而且学生通过点子图抽象出后续算法，培养了几何直观及分析与优化意识，潜移默化中渗透了转化的数学思想，在明理中顺利自然地过渡到算法上，达到水到渠成的效果。除此之外，“为什么要算”也属于“道”的范畴，大而言之是学生学习数学的目的，小而言之是学生学习的意志品质，这虽然属于非智力因素，但对数学学习乃至于整个学习观的建立都尤为重要，只有触动学生内心真正的需要，学生才能明确学习的目的与价值，懂得“为什么要算”，才会在形式简单而又枯燥的计算中保有学习的动力。在以往的教学中许多教师强调算法过多，教授技巧过多，而忽略了算理的教学。殊不知学生只有理解了算理，才能“创造”出科学的计算方法，所以计算教学必须由理入手，着重帮助学生利用已有的知识领悟、转化计算的道理，“循理入法，以理驭法”，最终达到掌握计算方法的目的。算理就是计算教学中的“道”，是计算教学的方向与灵魂，透彻地理解算理就是明确学习的大方向。方向对了，就不会南辕北辙，才能达到事半功倍的效果。

二、小学数学计算教学之“法”——法以固本

“法”之于计算教学就是解决“怎样算”的问题，也就是我们常说的算法。算法不单指某一种计算类型题具体的计算方法，它还包括四则运算的法则、定律等。算法简约了算理复杂的思维过程，添加了人为规定的程式化操作步骤，使得整个计算过程更为方便、准确。仍然以两位数乘两位数的计算为例，在明确算理的基础上，抽象出计算的方法，

循着算理的推导过程，将其简化为外显的以数为主的表达式，学生在创造算法的过程中可能存在不科学、不简化的地方，教师这时可以给出正确的书写格式，并引导学生与算理进行比照，通过一系列触及核心的问题引发学生思考。比如“每一部分积是怎么得到的？为什么第二部分积要错位书写？你能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗”。只有给学生充分的操作、分析、对比的空间，学生才能在明理的基础上顺利自然地掌握算法，思维才会逐步呈现由形象到抽象的变化，运算能力才会提高。另外也要处理好算法多样化与优化之间的关系，多样化是为了鼓励学生个性化的思考，而必要的优化才是学习提升的关键，科学优化的方法较之其他方法有其独到之处，教师的点拨与引导在这样的时候才有作用。如果说算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性，算法则为计算提供了准确快捷的操作方法，提升了计算的效率，二者是相辅相成的关系。算法是计算教学中的“法”，是计算的方法与规则，从算理中提炼出正确简洁的算法是学生必备的能力，方法得当是计算的根本所在，是提高计算准确性与速度的前提。

三、 小学数学计算教学之“术”——术以立策

“术”之于计算教学其实就是指运算的技巧，当然也包含着计算的习惯。这和我们做事情都希望优化流程、优选方法、寻求捷径是一个道理。计算时，我们也应该指导学生利用技巧优化算法，这不仅是一种较高层次思维的参与，更需要学生将所学的定律、法则、性质融汇贯通，综合运用所学的计算方法，最终形成计算能力。而运算技巧的培养在小学数学简便方法计算中最具代表性，简算教学中教师应做到以下几点：

首先要善用情境，激活经验。例如在计算145+98这道题时，可以利用购物的情境来激发学生的經验，使其思维进行更深层次的参与，买一件上衣145元，一条裤子98元，一共要付多少钱？学生会想到拿出100元来付裤子的钱，找回的2元补充到上衣的价格中共需付出243元。而这一思维过程就是145+98=145+100-2=243，这就是简算中多加了要减去的技巧，在这一案例中情境作为一种载体引发了学生更深层次的思考，从而帮助学生把算法的优化内化成了一种自觉的行为。

其次要着意对比，凸显优势。例如对于减法性质的运用中272-36-64=272-（36+64），两种方法通过对比呈现，优势立显，而教师要有意识地通过对比来使学生心悦诚服地接受利用定律简算的技巧。另外在简算的过程中一些常用数据的有效记忆也尤为重要，如25×4=100，125×8=1000这些数据在简算中作为重要因素常常出现，只有牢牢记住它们才能对于计算题目进行分析，利用运算定律进行相应的转化，达到简算的目的。

再次要把握原则，鼓励创新。在进行简算时常规的运算顺序会发生相应的变化，也会对数据进行拆分或转化，无论是把数拆分成积、和、差哪一种形式，必须在不改变原数大小的基础上进行，因为只有这样才不会影响计算结果。把握住这一原则，可以鼓励学生进行创造，同样的算式运用不同的定律，采取不同的手段都能达到简算的目的。例如125×88的简算，既可以拆成125×8×11，利用乘法结合律进行简算，也可以拆成125×（8+80），利用乘法分配律进行简算。同时教师还应有意识地培养学生的数感，计算之后对计算结果的合理性进行基本的估计与分析，可以及时发现计算中存在的问题，增加计算的准确性。

最后要做到形成意识，思辨提升。其实简算的学习也是循序渐进的过程，初期学习以形式上的模仿为主，但从长期来看一味地程式化训练也容易造成学生思维定势，因此在教学中应进行不同形式的练习，注重辨析与思考，研究典型错例，强调简算的合理性与灵活性，帮助学生形成简算的意识，真正体验计算策略改变带来的便捷。

其实所有计算都是有技巧可言的，就像是打仗要有谋划，做事都有策略，要根据具体情势，选择相应的方法，既要循道顺法，也要因地制宜，只有这样学生计算的训练才能脱离低水平的重复，思维才能得到更深层次的提升。

四、 小学数学计算教学之“器”——器以成事

“器”之于计算教学其实就是具体的练习设计。练习作为课堂教学的延伸，是完成教学目标的重要环节，是课堂反馈的重要手段，练习设计的科学性、创造性、严谨性关系到课堂教学质量的有效提升。盲目地以题量堆砌练习设计，会造成单调重复，杂乱无章，缺乏层次与整合，所以练习设计必须巧妙串连以形成知识网络，直指问题，有趣精当。在练习设计中教师应做到以下几点：

1. 由单一强化到综合提升的层次性。

所谓单一强化即针对教学的重、难点或某一易错点进行专项练习。例如教学三年级上册万以内加减法单元中加减法估算时，学生对于估算的思维方式、书写格式都存在困难，这时就需要进行专项的强化练习，经历反复的感知、理解、实践、强化，才能最终形成估算的技能。在单一强化的基础上适时地综合提升。综合练习的目的是更深刻地理解和掌握知识之间的本质联系与规律，更透彻地看待知识，从根本上提升分析解决问题的能力。五年级上册多边形单元中，学习完平行四边形、三角形、梯形及组合图形面积之后，教师应针对这部分知识进行综合性练习，由面积公式推导的演变发展体会转化的数学思想，建立各个图形之间的联系，通过诸如“三角形和平行四边形面积相等，高也相等，平行四边形的底为5厘米，则三角形的底为（ ）厘米”这样的综合练习，提升学生对图形之间关系的认知，从而达到灵活应对问题的效果。

2. 由顺向思维到逆向思维的全面性。

顺向思维思考的方向是由因导果，遵循单一的模式，直接运用概念、性质、法则和公式进行思考，这是我们平时练习中最常态的巩固方式。而“逆向思维”常常要运用概念、性质、法则和公式逆向推导，它的思考方向是由果索因，体现一种创造性的求异思维。在练习设计中，既要加强顺向思维的训练也要关注逆向思维的培养，例如在教学长方形与正方形周长之后，除了设计一些给出长、宽求周长的题目，夯实周长公式之外，也要设计给出周长与长，求宽的题目。从公式的逆向角度去分析，以便学生更深入理解周长，更灵活地应用。两种思维方式交迭融合，学生才能全方位掌握知识。

3. 由阶段整理到对比辨析的指向性。

小学阶段计算教学的编排特点是分类呈现、螺旋上升，所以在教材中一个单元或一个计算类型结束后要及时进行阶段性整理与复习，通过例题的回顾展现计算的不同类型，抓住逐步深入的题目里内在的联系。例如五年级上册学完小数除法单元之后，对于不同类型的小数除法进行整理，学生会发现无论是被除数、除数还是商是小数的情况都叫小数除法，而我们在计算时就是采用转化的方式把除数变成整数，而被除数扩大的倍数根据除数的具体情况而定，可以拿出这样几道题目进行对比，如7.65÷0.85、0.84÷3.5、25.6÷0.032，学生通过计算会发现，除数转化成整数之后，被除数无论成为整数、小数，都要根据整数除法的法则进行计算。这样的阶段整理、对比辨析有助于学生有指向性地掌握计算法则，从而有效地减少错误的发生。

4. 由典型错例到时间管理的独特性。

小学计算教学是数学学习的基础，这些看似简单的题目，学生产生错误的原因却不尽相同，也绝不是一句“马虎，下次注意”就可以改正过来的。作为教师要帮助学生养成纠错的习惯，不要忙着去改正，而是要先看看自己是怎么错的，把错误的原因进行归类，建立错题集，同时也要及时对典型错例进行讲评，规避类似错误。另外，学生计算时教师应有意识地记录时间，随着學习的熟练不断缩短规定时间，帮助学生养成积极的思维习惯，对时间进行有效的管理以提升学生计算的准确性和速率。

5. 由梯度练习到启迪思维的创造性。

计算教学一直是枯燥单调的代名词，笔者却认为不能单纯依靠机械重复与题量的堆砌来追求计算的正确率，而应该通过习题的巧妙设计让学生在静静地练习计算技巧的背后展现丰富热烈的数学思考。教师可以通过解决生活实际问题来激发学生的计算欲望；通过多元化的评比活动调动学生计算的积极性；通过设计梯度和深度的练习引发学生多角度的思考，把计算课上出挑战性和趣味性。同时要有意识地设计一些开放性题目，满足学有余力学生的需求。

练习设计精当与否，体现了教师对于所教计算知识及学生情况的整体把握，作为计算教学中最实在的部分，它的重要性不言而喻，但我们应当明确的是成事之“器”必须以“道”为根本，讲究得当之“法”，采用最好的“术”来共同达到提升学生计算能力的目的。

综上所述，千年沿袭的处事哲学中蕴含着一脉相承的教学智慧，“道、法、术、器”四者各为基石，彼此交融，相辅相成，缺一则不能成为体系，计算教学中只有坚持做到道明、法当、术巧、器精，四者并举，遵循规律才能教有所成，学有所得。

（作者单位：哈尔滨市南岗区教师进修学校）

编辑/魏继军