谈谈数学解题的得与失

2018-11-23 02:22赵新澳
新高考·高三数学 2018年3期
关键词:端点动点重合

赵新澳

作为一名高三党,解数学题是家常便饭,但我以为不能只是简单刷题,有时候解完题后再多问几个为什么,或许会“别有滋味”,在我们沉浸于“原来如此”的喜悦的同时,可以在解题的思路更新和能力创新方面得到真实的历练.最近在学习向量的时候,我就遇到了一道题,在老师的鼓励和帮助下,尝试对问题进行变式推广,颇有些得意,特记录下来与同学们一起分享.

一、就题论题,问题解决

原题 在等腰直角△ABC中,∠BAC =90°,AB =AC =2,M,N分别为BC边上的两个动点,且满足MN=√2,则AM.AN的取值范围为____.

一般情况下,向量问题有三种处理思路,即直接法、坐标法和基向量转换法.考虑到这道题没有给出向量长度和夹角,从而用定义直接处理的思路就首先否定了;然后又因为题目中有垂直,因为我在处理时选择的是坐标法,以A为原点、AB为x轴建立平面直角坐标系,其解题过程如下:

因BC的直线方程为y=2 z,故而设M(m,2-m).N(n.2-n)(0≤m

MN=√2 (n-m)2+[(2-n)-(2-m)]2=2 n-m=1.

有AM.AN=(m.2-m).(n,2-n)=mn+(2-m)(2-n)=2m2-2m +2,m∈[0,1].

由二次函数性质,当m=1/2时,AM.AN有最小值3/2;当m-0或1时,有最大值2.

所以取值范围就为[3/2,2].

当然类似地,以AB,AC为基向量,然后将AM,AN转化为基向量的线性表达式,因为基向量已知,这样就可以把AM.AN表示出来,于是同样也可求出相应数量积的范围,

本来题目做到这儿就可以结束了,但我发现m=1/2时,MN恰好处于线段BC的中间位置(MN的中点即为BC的中点);而m=0或1时,MN偏向线段BC的一侧(有一个端点与线段BC的端点重合);加之本题的背景是等腰直角三角形,从图形的对称性上也能解释特殊法的合理性,于是我就想,这样的结论是否可以推广到一般的等腰三角形中呢?

顺着这个思路我对题目做了个推广,∠BAC=θ(θ为常数),AB=AC=a,MN设为定长6(

二、眾里寻它,方得始终

第二天带着问题求教老师,老师带我用GeoGebra软件做了推广验证(如图1),改变M点的位置,得到数量积的计算值;而以M点的横坐标、数量积的计算值分别为横纵坐标构造E点后,然后以M点为主动点、E点为从动点构造轨迹(如图2);轨迹图象有力地支持了我的猜想,而这样的图象特性(在中点处取得最小值、在端点处取得最大值)恰与θ角的大小无关,真是“有图有真相”,这一验证让我顿时信心百倍.

而回首我昨晚的证明过程,经过讨论我们发现,之所以没证出来关键是题设字母设的不合理,MN这一定值不应设为绝对值,而应设为相对值(可设为MN =tBC,t∈[0,l]),这样计算起来应该方便些.再者,考虑到书上有关于三点共线的一个结论:P点在直线AB上,则有OP=mOA+nOB且m+n=1.于是在老师的鼓励下,我修正了原来的解法,整理推广过程如下:

因为MN在BC上,所以有MN =t BC,t∈[0,1].

设BM =λBC,BN=μBC,0≤λ<μ≤1,

于是MN =BN-BM=(μ-λ)BC =tBC μ-λ=t,

BM =λBC, BN=μBC AM=(1-λ) AB+λAC, AN=(I-μ)AB+μAC,

所以AM.AN =(1-λ)AB +λAC].[(1-μ)AB+μAC]

=(1-λ)(1-μ)AB2+[(1-λ)μ+λ(1-μ)]AB.AC +λμAC2

=[1-(λ+μ)+2μλ]a2+[(λ+μ)-2λμ]a2cosθ

=a2+[2λμ-(λ+μ)]a2(1-cOsθ).

说实在题目解到这儿已是不易,接下来往哪儿走却很关键.冷静再冷静回头看,我发现题中有M,N两个动点,它们分别对应着变量λ和μ,这样四个字母中就λ和μ是变量了;于是只需要重点考虑2μ-(λ+u)即可,结合两限制条件0≤λ<μ≤1,μ-λ=t,可以想到消元,于是想到干脆提取出λ为未知元建立函数进行研究:设f(λ) =2λμ-(λ+μ),由μ-λ=t,消元得f(A) =2λ22(1-t)λ -t,λ∈[0,1-t].

二次函数f(λ)图象的对称轴为λ=(1-t)/2,这样结合函数性质,可得出结论:当A=(1-t)/2时,f(λ)取得最小值(此时μ=(1+t)/2,MN恰好在BC的中间位置);λ=0或1-t时,f(λ)取得最大值(此时M,B重合或N,C重合);于是猜想得证.这样,我们就可从原题得到一推广命题:

在等腰三角形ABC中,∠BAC=θ(θ为常数),AB =AC =a,M,N分别为BC边上的两个动点,且满足MN =t BC,t∈[0,1].当MN位于BC中间位置时,AM -AN取得最小值a2 丢(t2 +l)a2(1-cosθ);当MN偏向线段BC一侧(有一端点与线段BC端点重合)时,AM.AN取得最大值a2-ta2(1-cOsθ).

这次探究经历,于我而言,“得”远远大于“失”,“失”的是宝贵的时间(过程很费周章),“得”的却是对数学解题满满的体验:

1.对数学解题的全新思考.通过题目特殊位置特殊值的分析,猜想一般化的结论,继而证明猜想,从而发现一有关数量积范围的推广命题,我觉得这才是日常做数学的感觉.

2.数学解题需要有一定的想象和思维发散,在推广过程中我的发散思维得到了锻炼,我对问题的本质认识更加清晰,事实上原题中MN=√2即相当于推广题中t=1/2,这样只要将推广题的证明稍作改动就得到原题的基向量的证法(事实上据我调查,原题的基向量的证法,我们班还没几个同学可以得出,原因还在于他们不会处理√2这个条件).

3.数学解题需要明辨方向、梳理思路,原来我之所以会陷入困境,主要还是忽视了书上的三点共线性质,看来回归课本在高三复习中不仅重要还很必要;而有了这次经历,下次再遇到含多个字母的试题,我会更有底气与毅力.

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