高考改编题(十三)

2018-11-23 02:22刘炜
新高考·高三数学 2018年3期
关键词:子集服务队队长

刘炜

1.(2017年浙江卷)已知多项式(x +1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3 +a3x2 2+a1x+a5,贝a4=____,a5=____.

1-1.(改编)已知多项式(x+1)3(x+ 2)2=x5 +a1x4+a2x3+a3x2 +a4x+a5,则a1+a3+a5=____. a2+a4=_______.

1-2.(改编)已知多项式(x+1)3(x+2)2的导函数为aOx5+a1x4+a2x3,+a3x2+a4x+a5,则以a0=____,a5=_____.

1-3.(改编)已知多项式(x+1)3(x+2)2的导函数为a0x5+a1x3+a2x3+a3x22+a4x+a5,则a1 +a3+a5=_____,a0+a2+a=____.

2.(2017年浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有_____种不同的选法.(用数字作答)

2-1.(改编)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求队长是女生,共有_____种不同的选法.(用数字作答)

2-2.(改编)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中队长或者副队长中至少有1名女生,共有____种不同的选法.(用数字作答)

2-3.(改编)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中女生甲不能做队长,女生乙不能做普通队员,共有____种不同的选法.(用数字作答)

3.(2017年江苏卷)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放人如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放人编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(x)

3-1.(改编)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局,根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为1/2,如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛,记甲赢得比赛的概率为P(n).

(1)求P(2)与P(3)的值;

(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小,并证明你的结论.

3—2.(改编)已知整数n≥3,集合M={l,2,3,…,n)的所有含有3个元素的子集记为Ai(i=1,2,…,Ci),记这些集合所有元素之和为Sn例如当n=4时,集合M的所有含有3个元素的子集共4个,但M中每个元素出现了C23次,从而S4=C23(1+2+3+4)一30.

(1)求Sn;

(2)证明:S3+S4+S4+…+Sn=6C5 n+2:.

3-3.(改编)当n≥3,n∈N时,对于集合M={l,2,3.…,n),集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1,N2,N2,…,NM(n)-1,NM(n),其中M(n)表示集合M的含3个元素的子集的个数.设p,为集合N,中的最大元素,qi为集合Ni中的最小元素,1≤i≤M(n),记P=p 1+p2+…+pM((n)-1+pM(n),Q =q1+q2+…+qM(n)-1+qm(n)

(1)当n=4时,分别求M(4),P,Q;

(2)求证:P=3Q.

参考答案

1. 16,4.

解析:由二项式定理可知通项公式为:

取r =0,m=l,和r=l,m=0时可得a4=16;

取x=o时,可得a5=4.

1-1. 36, 35.

解析:取x=1时,可得1+a1 +a2 +a3 +a4 +a5=23×31=72,

取x=-1时,可得-1+a1-a2+a3-a4+a5=O,

解得:a1 +a3 +a5=36,1+a2 +a4=36,即a2 +a4=35.

1-2.O,16.

解析:根据题意,多项式为5次,则导函数最高四次,从而a0=0.

导函数的常数项是原函数的一次项,即由原题可知a3=l6.

1-3. 78, 78.

解析:根据题意,(z+1)3(z+2)!的导数为3(z+1)2×(z+2)2+(z+1)3×2(z+2),

所以3(x+l)2×(x+2)2+(x+1)3×2(x+2)=a0x3+a1x4 +a2x3 +a3x2 +a1x1+a3,

取x=1时,可得a0+a1 +a2 +a3+a4 +a5=3×22×32+23×2×3=156.

取x=-1时,可得-a0 +a1-a2 +a3-a4+a=O,

解得:a1 +a3 +a5=78,a0+a2 +a4=78.

2. 660.

解析:直接法比较难以处理,故采用间接法,总的安排方法为,从8人中选4人,再从中选出队长与副队长,即不同的选法数为C 4 A4,其中不满足的是C46A24,所以满足题意的不同选法数为C48A24-C46A24=660.

2-1. 210

解析:根据特殊要求优先的原则,先确定队长,再确定副队长,然后选定队员,根据乘法原理可知不同的选法数为C12C12C26=210.

2-2. 390.

解析:对于甲而言,2n局比赛中甲赢的次数作为随机变量,则随机变量服从二项分布,于是可以求得甲赢得比赛的概率;对于研究类似“数列”的单调性,一般采用比较法(作差或者作商).

解析:根据题目的范例,我们可以发现M的所有含有3个元素的子集共C3n个,从而集合M中每个元素出现了C2n-1次,从而可以求得Sn;继而可以使用组合数的性质求证(2).

解析:本题与3-2(改编)相似,对于其中最大元素,与最小元素出现的次数也与前题一致,所以处理的方法基本相似.本题中主要的就是建立P,Q关于n的表达式,从而利用组合数性质加以证明,

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