高考改编题（十三）

刘炜

1.（2017年浙江卷）已知多项式（x +1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3 +a3x2 2+a1x+a5，贝a4=____，a5=____.

1-1.（改编）已知多项式（x+1）3（x+ 2）2=x5 +a1x4+a2x3+a3x2 +a4x+a5，则a1+a3+a5=____. a2+a4=_______.

1-2.（改编）已知多项式（x+1）3（x+2）2的导函数为aOx5+a1x4+a2x3，+a3x2+a4x+a5，则以a0=____，a5=_____.

1-3.（改编）已知多项式（x+1）3（x+2）2的导函数为a0x5+a1x3+a2x3+a3x22+a4x+a5，则a1 +a3+a5=_____，a0+a2+a=____.

2.（2017年浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_____种不同的选法.（用数字作答）

2-1.（改编）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求队长是女生，共有_____种不同的选法.（用数字作答）

2-2.（改编）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中队长或者副队长中至少有1名女生，共有____种不同的选法.（用数字作答）

2-3.（改编）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中女生甲不能做队长，女生乙不能做普通队员，共有____种不同的选法.（用数字作答）

3.（2017年江苏卷）已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放人如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放人编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）.

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明：E（x）

3-1.（改编）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N*）局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为1/2，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为P（n）.

（1）求P（2）与P（3）的值；

（2）试比较P（n）与P（n+1）的大小，并证明你的结论.

3—2.（改编）已知整数n≥3，集合M={l，2，3，…，n）的所有含有3个元素的子集记为Ai（i=1，2，…，Ci），记这些集合所有元素之和为Sn例如当n=4时，集合M的所有含有3个元素的子集共4个，但M中每个元素出现了C23次，从而S4=C23（1+2+3+4）一30.

（1）求Sn；

（2）证明：S3+S4+S4+…+Sn=6C5 n+2：.

3-3.（改编）当n≥3，n∈N时，对于集合M={l，2，3.…，n），集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1，N2，N2，…，NM（n）-1，NM（n），其中M（n）表示集合M的含3个元素的子集的个数.设p，为集合N，中的最大元素，qi为集合Ni中的最小元素，1≤i≤M（n），记P=p 1+p2+…+pM（（n）-1+pM（n），Q =q1+q2+…+qM（n）-1+qm（n）

（1）当n=4时，分别求M（4），P，Q；

（2）求证：P=3Q.

参考答案

1. 16，4.

解析：由二项式定理可知通项公式为：

取r =0，m=l，和r=l，m=0时可得a4=16；

取x=o时，可得a5=4.

1-1. 36， 35.

解析：取x=1时，可得1+a1 +a2 +a3 +a4 +a5=23×31=72，

取x=-1时，可得-1+a1-a2+a3-a4+a5=O，

解得：a1 +a3 +a5=36，1+a2 +a4=36，即a2 +a4=35.

1-2.O，16.

解析：根据题意，多项式为5次，则导函数最高四次，从而a0=0.

导函数的常数项是原函数的一次项，即由原题可知a3=l6.

1-3. 78， 78.

解析：根据题意，（z+1）3（z+2）！的导数为3（z+1）2×（z+2）2+（z+1）3×2（z+2），

所以3（x+l）2×（x+2）2+（x+1）3×2（x+2）=a0x3+a1x4 +a2x3 +a3x2 +a1x1+a3，

取x=1时，可得a0+a1 +a2 +a3+a4 +a5=3×22×32+23×2×3=156.

取x=-1时，可得-a0 +a1-a2 +a3-a4+a=O，

解得：a1 +a3 +a5=78，a0+a2 +a4=78.

2. 660.

解析：直接法比较难以处理，故采用间接法，总的安排方法为，从8人中选4人，再从中选出队长与副队长，即不同的选法数为C 4 A4，其中不满足的是C46A24，所以满足题意的不同选法数为C48A24-C46A24=660.

2-1. 210

解析：根据特殊要求优先的原则，先确定队长，再确定副队长，然后选定队员，根据乘法原理可知不同的选法数为C12C12C26=210.

2-2. 390.

解析：对于甲而言，2n局比赛中甲赢的次数作为随机变量，则随机变量服从二项分布，于是可以求得甲赢得比赛的概率；对于研究类似“数列”的单调性，一般采用比较法（作差或者作商）.

解析：根据题目的范例，我们可以发现M的所有含有3个元素的子集共C3n个，从而集合M中每个元素出现了C2n-1次，从而可以求得Sn；继而可以使用组合数的性质求证（2）.

解析：本题与3-2（改编）相似，对于其中最大元素，与最小元素出现的次数也与前题一致，所以处理的方法基本相似.本题中主要的就是建立P，Q关于n的表达式，从而利用组合数性质加以证明，