基于“学生提出问题”的数学教学

【摘 要】数学教学是数学活动的教学，数学活动本质上是数学思维活动，数学思维活动是以数学问题为载体的。数学教学的主体是学生，数学教学的目标是促进学生数学素养的提升，让学生提问题就应该成为数学教学的基本要求。数学教学问题通常分为两类：现实世界中提出的问题和数学内部生成的问题，它们分别在研究实际问题和数学研究中产生。数学教学要为学生提出恰当的数学问题创设合适的条件，让学生经历提出问题、分析问题和解决问题的完整的数学过程，发展思维能力，提升学科素养。

【关键词】数学教学；数学活动；数学思维；数学问题；学生自主提问

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）67-0007-04

【作者简介】石志群，江苏省泰州市教育局（江苏泰州，225300）教研室主任，正高级教师，江苏省特级教师，全国优秀教师，江苏省有突出贡献的中青年专家。

苏联数学教育家A.A.斯托利亚尔提出了“数学教学是数学活动的教学”的数学教学观。[1]我国著名数学特级教师张乃达先生认为：“数学活动本质上是一种思维活动，没有了积极的数学思维活动，也就失去了数学的教育价值，因此，学生是否展开了积极的思维活动应该是评价课的成败的根本标准。”他特别强调：“没有问题就没有思维。数学思维就是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的一般性认识的思维过程。”[2]因此，我们可以有这样的结论：问题不仅是数学发展的动力，而且也是数学教学的载体；发现问题、解决问题不仅是数学研究的基本过程，而且是数学教学的基本过程。

现在的问题是：如何理解基于学生提出问题的数学教学？

一、对数学教学中“问题”的认识

一般地看，数学教学中的问题通常有两类，一类是为解决现实世界、社会生活中的需要而提出的问题，一类是为解决数学内部的矛盾冲突或为解决研究数学问题的过程中所出现的困难、疑难而提出的问题。前者要在实际问题的基础上进行抽象、概括等思维操作而形成，后者是从原有知识结构的基础上，通过逻辑和直觉的手段而获得。不管问题来自哪一个渠道，数学问题总是数学思维的产物。

数学教学中的“问题”应该是可以由学生自己提出的，或者说是能够由学生自己提出的。对此，可从两方面说明。

一方面，问题应该是由情境中自然产生，或由数学的逻辑，或由认知的倾向自然生成，也就是说，一节课中的诸多“问题”应该是有逻辑关联或认知联系的“问题链”。提出问题、解决问题的过程是数学研究、数学建构，或者说数学学习的思维过程，这个思维过程是具有很强的联系性和延续性的。例如，在教学“数集的扩充与复数的引入”时，先介绍教材引言中意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》一书中给出的这样一个著名的问题：把10分成两个部分，使这两部分之积为40。学生根据初中知识认为：方程x2-10x+40=0没有解。于是提出问题：

问题1：方程x2-10x+40=0真的没有解吗？“方程没有解”的意义是什么呢？

对此，我们提出“一连串”的问题：

方程2x=3，对于一个只知道整数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗？

方程x+1=0，對于一个只知道非负数的小学生来说一定是没有解的，它真的没有解吗？

方程x2=2，对于一个只知道有理数的初中一年级的学生而言一定是没有解的，它真的没有解吗？

这使学生认识到：方程是否有解取决于数的范围，在原来数集范围内无解的方程可以在扩充后的数集中有解。于是自然就提出了：

回顾数学学科中“数的扩充”过程，要求学生通过从有理数集扩充到实数集的过程，探索“数集扩充”的基本原则。在此基础上提出：

问题4：怎样对实数集进行扩充，能够使得卡尔达诺方程有解呢（也即负数可以开平方）？（以下略）

上述问题1问题4，是有着逻辑关联、逐层递进的，是遵循数学研究、数学思维的基本规律的前提下的逻辑必然。因此，它们“应该”能够由学生“自己”提出来。

另一方面，教学过程中提供给学生进行研究的素材（原型、背景等），以及引领学生持续研究的问题的难度、深度、广度都应该是与学生的认知能力相适应的，是处于最近发展区的，是经过充分的准备，以便于学生产生心理需求和冲动（建构新知识的必要性）和建立必要的心理原型。比如，在学习函数概念的起始课上，教师直接提出问题“什么是函数”，这对于学生而言根本就不是问题，学生会感到非常茫然。这就需要我们为学生提供背景性的材料，通过将难以直接测量的量转化为可以直接测量的量的现实原型，让学生在认识到构建新的数学模型的必要性的同时，感受到变化过程中的两个变量之间的依存关系是实现转化的必备特征，从而就能够“自己”提出这个问题。

当然，还有一类数学教学中的“细节”方面的问题，就是学习过程中出现的疑惑、难题，甚至错误。尽管是“细节”，但对课堂的进程也是非常重要的，不仅如此，它们对学生思维能力、思维品质等核心素养的培养有着更为重要的价值。

二、数学问题是怎样产生的

从数学研究或数学发展的视角审视，有价值的数学问题通常有以下产生的方式。

现实的需求：土地丈量，产生研究图形及其性质、度量等问题。

理论研究的需要：解方程的需要，分别产生了需要引入“新数”的问题，从而引入了负数、虚数；研究用正方形的边长表示其对角线长的问题，产生了与已有的“万物皆数”的哲学观的冲突，形成了重大的数学危机。

数学研究的“规范”：研究数学对象就要研究其运算。例如，引进了“向量”的概念后，自然就会提出问题：向量的运算如何定义？

数学文化的影响：三大作图问题只可能产生于古希腊文化之中，在古代的东方文化中，是不可能产生这样的问题的。因为在重实用的东方文化中，根本没有如此强烈的抽象意识和演绎的要求，更没有公理化的思想，而这一切正是“尺规作图不能问题”产生的文化基础。

数学审美：这是数学家共同的价值观，总是追求至“美”。数学家希望从不同的事物中看到共同点，从纷乱中看到秩序，从复杂的事物中看到简单，从对立中看到和谐，从多样化中看到统一。而追求和谐、统一和简单的本质就是追求美，这是数学家的价值观使然，是由他们的审美直觉决定的。

逻辑或直觉分析：通过推理（逻辑推理或合情推理）的方式，演绎出新的数学问题。例如，爱因斯坦的“探索性演绎法”充分体现了逻辑与直觉在探索思维过程中的重要作用。

认知冲突或观念冲突：如上文所述，如果不是三次方程根的问题引发的问题冲突，仅仅是某一元二次方程不存在实数根，是不会引发问题意识的，也不会产生需要引进新数的需求的。正如《虚数的故事》的作者保罗·J·纳欣所言：“任何一元二次方程都没有使任何数学产生需要进行数集扩充的冲动，他们都是直接给出‘这个方程没有根就算了。”虚数的产生源于被称为“不可约方程”的三次方程。

数学家提出问题的方式对数学教学中如何在课堂上提出问题，特别是如何让学生主动而自然地提出问题，特别是有价值的问题是非常重要的。

三、数学教学中“学生提出问题”的价值

数学家把提出问题和解决问题作为数学研究的基本过程，那么，数学教学也应该组织成提出问题和解决问题的过程，把数学理论的学习和数学知识的应用都看成是提出问题和解决问题的活动，从而形成“提出问题——解决问题——提出新问题……”的教学结构。

在上述教学结构中，每个过程不是独立的、割裂的，而是综合的、交叉的，相互之间你中有我，我中有你：提出问题的过程中可能局部地需要解决一些问题，否则提不出有价值的问题，而解决问题的过程中也需要不断地提出一些子问题或辅助性的问题，将问题重新归结或转化。从这个意义上看，解决问题的过程与提出问题是密切相关的，解决问题的能力（用数学的思维分析问题的能力）归根到底还是提出问题的能力：提出一个类似的问题、一个相关的问题、一个等价性问题、一个辅助性问题、一个特殊性问题……

“提出问题”也就是发现问题。如果是从现实背景中提出问题，那么，其心理过程（思维过程）就是抽象、概括等，用数学的语言进行表达；如果是从数学内部提出问题，那么其心理过程就是归纳、类比、分析等推理性思维，是对已有数学知识的推广、延拓、引申，或是对数学推理所形成的“逻辑矛盾”的反思和消解。当然，数学教学中还有可能因为错误地运用受限制的命题，或思维过程的不严谨，也会产生结论的“冲突”，也就会形成教学中的“意外”性的问题，这类问题的发现则需要进行溯源、比对性验证等思维活动。

基于以上分析，我们可以看到，数学教学过程中学生参与提出问题是实现数学教育价值的基本要求和有效路徑。因为学生参与了数学再发现过程中的“提出问题”的过程，学生也就经历了数学家的探索过程，再现了数学的历史过程。这不仅是数学知识生成过程，也是数学发现的思维过程，更是数学思想、数学观念的发展过程，因此，学生提问题是最好的训练数学思维、渗透数学思想、发展数学观念的形式。用不同的思维方式、经历各种提出问题的心理过程，可以不断地完善学生的认知结构，提升其学科素养和核心能力。

四、学生提出问题的教学条件

怎样培养学生提问题的能力？怎样让学生能够主动地参与提问题、提出有价值的问题？

从思维过程看，发现问题与提出问题表现为“意识到并表述出问题”，因此，提出问题特别是提出新问题的能力是一种高级思维能力（当然，问题有不同层次，这里所指为有较高数学价值的问题），从某种意义上说，这是创新能力的基础。缘于此，培养提出问题的能力是一项难度很大的工作。

那么，怎样培养学生提问题的能力呢？

循序渐进是一项基本要求，这里不再阐述，主要从一些基本条件的创设上谈一点个人的看法，供参考。

1.形成问题情境，创造学生自己提问题的思维场。

提出问题需要背景性的、经验性的感性认知的支撑，而获取这些经验认知的方式正是提出问题的能力基础。教学中，需要先提供较为丰富的经验性材料以使学生获得基本的数学活动经验，诱发其产生提问题的心理倾向，逐步地学会提问题的方式，形成并发展提问题的能力，从而增强提问题的意识。说到底，让学生学会提问题，就是要在教学过程中充分暴露发现问题，并由其引导再提出问题的思维过程。

例如，初中数学中“圆周角”的概念，如果没有基本活动经验的支撑，学生是没有提出这个问题的心理需求的，是想不到提出这个问题的，更不理解教师或教材怎么想到要考察角的顶点在圆周上、角的两边与圆周相交的角的。因此，教学中应该先从圆心角及其性质出发，根据数学的价值观念和审美需求，提出第一个问题：在圆所在平面内是不是还存在其他的点，其对同弧或等弧张定角？（发现变化之中的不变性、多样中的统一性是数学家们的价值观所在）；再通过“几何画板”（或其他软件）进行探索（角所对弧不变，角的顶点运动，运动过程中将角的大小测量并显示出来），发现当角的顶点在圆周上运动时，角的大小不变，有了这些感性认识，学生自然会产生这样的想法：真的是定值吗？怎样证实这个结论呢？如果证实了这个猜想，那么这样的角就非常“特别”了，需要给它们“起个名字”了。在这里，所提问题不是教师强加给学生的，是在学生经验积累后的自然行为。

2.暴露数学中发现问题、提出问题的思维方法，渗透数学思想方法。

比如，“反思”是提出问题的重要的思维形式，而且是能够提出较为深刻的问题的重要途径，不仅如此，它也是发展学生的数学思维能力，形成数学意识与观念的有效手段。这是因为，人们尤其是学生，总是习惯于运用常识或直觉进行判断，并且对所作出的结论很少怀疑，这缘于他们的理性精神，或者说科学精神还不强，这正是数学教学的根本任务。引导反思，运用反思发现问题正是增强学生的理性精神的基本路径。例如，在讲“直线与平面垂直”的概念时，教师通常用操场上的旗杆与地面、跳水运动员入水时身体的最佳形态与位置等，让学生感受到“线面垂直”的意象，确实，学生们也大多能够“正确”回答出“线面垂直”的答案，但对于“什么叫作线面垂直？”“怎样才是线面垂直？”“为什么这样就是线面垂直？”等问题，学生是不容易回答的。教师的任务就是追问学生这些问题，如果学生从教材上找到答案（定义），就要继续追问：“为什么要直线垂直于平面内的所有的直线？”引导学生类比平面内的线线垂直的概念，“为什么要求相交直线所成的四个角中有一个角为90°”？

这个过程看似是教师在提问题，实质是在培养学生的反思意识，让学生学会反思，学会质疑自己的或别人的观点，让质疑成为习惯，反思成为自然。特别地，对自己的直觉，或根据常识做出的判断，即对自己的思维进行再思维的思维监控机制，是学生思维品质的提升与完善。这一切，都是为了提高学生自己提问题的能力。

在教学过程中，要在创造学生自己提问题的条件的同时，还要注重对数学家发现问题、提出问题的思想方法的渗透，逐步地提升提问题的能力，发展数学核心素养。

【参考文献】

[1]A.A.斯托利亚尔.数学教育学[M].丁尔，译.北京：人民教育出版社，1984.

[2]张乃达，过伯祥.张乃达数学教育——从思维到文化[M].济南：山东教育出版社，2007.