对学生发现和提出问题的理性思考与建议

宁连华　蔡甜甜

【摘 要】纵观义务教育及普通高中数学课程标准的若干次修订，学生从数学角度“发现和提出问题”的能力越发受到重视。发现和提出问题是创新的基础，常可通过类比、变式、反思等方式进行。结合学生发现和提出问题的教学实践，就其中存在的问题提出几点思考与建议：将发现和提出问题的主动权还给学生，引导学生提出高质量的好问题，积极创设恰当的问题情境，营造鼓励学生质疑提问的和谐氛围，提高教师自身提出和解决问题的能力。

【关键词】发现问题；提出问题；学生；方式；思考与建议

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）67-0021-04

【作者简介】1.宁连华，南京师范大学（南京，210097）数学科学学院课程与教学研究所教授，博士生导师；2.蔡甜甜，南京师范大学（南京，210097）教师教育学院研究生。

20世纪80年代初，全美数学教师联合会（NCTM）掀起一场以“问题解决”为核心的数学教育改革运动。到20世纪80年代末，随着对“问题解决”的不断反思，“问题提出”教学研究开始走进课堂，成为数学教育界普遍关注的研究话题。[1]近年来，随着新课程改革向纵深推进，学生“发现和提出问题”能力的培养越发受到关注，《普通高中数学课程标准（2017年版）》在课程目标中就明确指出，“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。[2]

然而，目前在培养学生发现和提出问题的能力方面仍未取得重大突破。鉴于此，有必要在已有研究基础上对学生发现和提出问题的内涵、方式等进行理性分析与反思，以期让学生发现和提出问题成为教学的常态，更好地培养学生的问题意识与创新思维能力。

一、发现和提出问题的要义分析

1.发现问题和提出问题的内涵。

20世纪90年代以来，教师和研究者从“问题意识”的视角对数学教学中的“问题提出”进行了研究，关注对学生发现和提出问题能力的培养。所谓“发现问题”，是指经过多方面、多角度的数学思维，从表面看来没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，或者找到数量与空间方面的某些矛盾，并把这些联系和矛盾提炼出来。所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来。[3]

发现问题与提出问题常被同时提及，但其实二者之间仍有细微的差别。数学教学中的发现问题，侧重用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考现实世界，指在现实情境中观察、分析，思考是否存在值得研究的有关对象数量关系和空间形式的问题，更强调“问题意识”；而提出问题则侧重用数学的语言表达现实世界，指在发现问题的基础上，用数学语言将问题清晰地表达出来，明确的问题表述是分析、解决问题的必要条件。简言之，发现问题为提出问题奠定了基础，提出问题是对发现问题的完善。

2.学生发现和提出问题的重要性。

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，学生发现和提出问题是创新的基础。[4]高校教师常反映大学生的模仿能力强，而创新思维能力弱，这也从侧面反映了中学数学教学在培养学生发现和提出问题的能力方面仍有所欠缺。不少学生经过训练，解题能力较强，但是却不会发现问题，也不善于提出问题。其实，数学的发展是“发现和提出问题”与“分析和解决问题”不断交替的过程，解决问题固然重要，发现和提出问题的作用亦不可忽视。如果只有解决问题，缺少发现问题的环节，思维元就不能形成“群”状结构。[5]

从思维的创造性价值角度看，“发现、提出问题”和“分析、解决问题”，与合情推理和演绎推理也有几分相似。合情推理与演绎推理是推理的两大常见形式，两者相辅相成，共同构成了数学发现的全过程。数学教育家波利亚在《数学与猜想》中指出：“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个定理之前，你先得猜這个定理的内容……数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。”[6]在论证一个命题前需要由合情推理来提出猜想，正如在解决一个问题前需要先发现和提出问题。分析和解决问题的过程中常需用到演绎推理，而合情推理则是发现和提出问题的重要来源。合情推理在创新方面有演绎推理难以替代的重要作用，同样地，让学生发现和提出问题也是培养创造性思维和能力的重要环节。

二、发现和提出问题的常用方式

在有些学者看来，“发现和提出问题”甚至比“分析和解决问题”更为重要，爱因斯坦就曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更有意义。”诚然，没有数学问题的提出就不会有数学问题的解决，也就没有数学的发展。在数学教学中，教师可以考虑通过类比、变式、反思等方式，引导学生发现和提出问题。

1.类比。

类比是中学数学教学中常用的思想方法，也是提出猜想、进行数学研究的重要途径。很多数学内容之间都存在着相似的属性，可通过类比的方法来提出猜想。不同维度间可以进行类比，如立体几何的学习可以类比平面几何，从低维向高维进行推广；“式”与“数”之间也可进行类比，如对分式的研究可以类比分数的学习来进行。在数学教学中，教师可以引导学生思考将要学习的数学对象与已经学过的内容之间是否存在相似性、能否进行类比，预测将从哪些方面研究新的数学对象，在此过程中往往就能发现和提出新的问题。

2.变式。

变式训练是中学数学教学中的常见活动，也是发现和提出问题的途径之一。解决一个问题之后，尝试改变问题的条件或结论，对结论进行一般化的推广，或者反过来思考命题的逆命题是否成立等，这样的变式都将提出新的问题。美国学者布朗与沃尔特提出了基于给定的数学问题而提出问题的“what-if-not”策略，即考虑：如果不是这样的话，那又可能是什么？也被称为“否定假设法”。[7]这也是进行变式的一种思路。教师指导学生在已经解决的数学问题基础上，提出变化的或拓展的数学问题，是在数学教学中落实学生发现和提出问题的一种可行方式。

3.反思。

教材所呈现的例题、习题多数都是典型问题，教师应当鼓励学生对解题过程进行积极的反思。正所谓温故知新，反思有时也是创新的来源。数学教师在课堂教学中，可以带着学生进行解题反思，引导学生总结、归纳、拓展与发现，在反思中学会创新，从多角度对已解决的问题进行发散思考，这也是发现新问题的一种方式。问题解决后的回顾与反思，不仅可以提高解决问题的能力，还可为后续发现和提出问题做准备。

三、思考与建议

基于上述对发现和提出问题的内涵、重要性及常用方式的分析，结合当下数学教学中学生发现和提出问题的现状，就教学实践中存在的问题提出一些思考与建议。

1.将发现和提出问题的主动权还给学生。

不少数学教师都尝试通过开展探究性活动、合作学习等方式，引导学生自主发现和提出问题。例如，数学教师常会创设情境，并以问题串的形式引导学生提出问题，以此引入本节课的学习内容。在引导学生发现和提出问题的过程中，教师适当进行启发性提示，为学生搭建脚手架，这是值得提倡的。然而，如果教师的提问指向性太明显，或者提示得过细，就会限制学生的思维，或许从表面上看学生也按照教师的要求“提出”了问题，但这并不是真正的学生发现和提出问题应有的形态。也有的教师虽然鼓励学生自主地从情境中发现、提出想要研究的问题，也给了学生充分表达自己想法的空间，但却未给予学生恰当的反馈，并没有认真思考学生提出的问题，仍然按照教学设计中预设的问题展开教学。这种情况下，所谓的学生发现和提出问题只是流于形式，恐怕难以取得预期的教学效果。

为切实提高学生发现和提出问题的能力，培养其创新意识，数学教师应留给学生充分的时间、空间去思考，鼓励学生提出自己感兴趣、想研究的问题，并且充分利用学生提出的问题资源，引导学生积极探索，发挥学生主体性，将发现和提出问题的主动权还给学生。

2.引导学生发现和提出高质量的好问题。

希尔伯特曾说“数学问题是数学的灵魂”。问题的提出是获取新数学知识的基础，发现和提出问题作为创新的第一步具有重要价值，这是不争的事实。然而在数学教学中，学生有时会提出非数学的、无价值的不太理想的问题，甚至是不构成问题的表述。试想若提出的问题本身就不恰当，在不合理题设的基础上进行的问题解决、得到的结论，也就都失去了意义。因此，学生不仅要能发现和提出问题，更要能发现和提出高质量的好问题，问题的明确性、现实性、数学性等都是值得关注的重要指标。学生所提出的问题应有一定思维含量与研究价值，但又不能太过深奥。太容易了，没有探究的基础；太困难了，探究就无法进行。[8]

已有研究从不同角度探索了促进高质量问题提出的策略，如探索问题情境的机会以及解决类似问题的经验能帮助学生提出高质量的问题，运用证明、逆向思考、特殊化、一般化和推广等“基本数学过程”由已知问题提出新的问题等。[9]此外，教师对学生提出问题的态度与处理方式，也会影响学生提问的水平。数学教师应及时对学生问题进行分析、筛选，给予学生恰当的反馈，帮助学生理解何为高质量的好问题，逐步提高发现和提出问题的能力。

3.积极创设恰当的问题情境。

问题源于情境，历史上诸多教育家都提倡过问题情境教学。最早可追溯到苏格拉底的问题教学法或谈话法；杜威也曾提倡过问题教学，其核心就是问题情境；布鲁纳提出的发现法也主张创设问题情境。创设数学情境，就是呈现给学生刺激性数学信息，引起学生学习数学的兴趣，启迪思维，激起学生的好奇心、发现欲，产生认知冲突，诱发质疑猜想，唤醒强烈的问题意识，从而使其发现和提出数学问题，解决数学问题。[10]创设恰当的情境有助于学生理解数学与生活的聯系、增强学生的数学应用意识，是促使学生发现和提出问题的重要策略。

创设问题情境，不仅要有利于学生从中发现和提出问题，也要关注情境的现实性与数学性。教师在创设与学生实际生活相关的问题情境时，必须注意情境的真实性，不能出现常识性错误，不可违背事实。从实际情境中提出数学问题时，常需进行恰当的简化与假设，应当让学生经历这一提出问题的重要环节，而不是将已经简化得不符合现实的情境直接展现给学生，否则反而会影响学生探究的积极性。

4.营造和谐氛围，鼓励学生质疑提问。

纵观中小学数学课堂，会发现小学生常常很积极地回答教师提出的问题，并且很渴望有机会表达自己的想法。而随着年龄增长，中学生尤其是高中生，似乎不太愿意在课堂上举手发言，主动发现和提出问题的频率也有所降低。学生不愿提问、提不出问题，其实与教师的教学方式和课堂氛围有很大关系。美国心理学家罗杰斯曾指出，一个人的创造力只有在感觉到“心理安全”和“心理自由”的条件下，才能获得最优表现和发展。所以，教师应该营造和谐安全的课堂氛围，给予学生自由的思考空间，让学生在融洽的师生关系中，敢于、乐于表达自己的想法，提出感兴趣的问题，创造性地发挥潜能。

有些学生会认为提出问题是教师的事，教师提的、书上给的就一定是好问题，这些错误观念都会阻碍学生发现和提出问题。为破除“唯书”“唯师”的思维定势，教师在教学中应鼓励学生思考、质疑，多给学生提问的机会。即使有时学生提出的问题可能不太理想，但学生提问的行为还是值得鼓励的，教师应引导学生发现更有价值的问题，而不是直接回避或否定学生的问题，否则会打击学生发现和提出问题的积极性与自信心。

5.教师自身提出和解决问题的能力也有待提高。

“要给学生一杯水，教师得有一桶水。”为了培养学生发现和提出问题的能力，教师也应注重提升自身的数学素养、问题意识与创新思维能力，这样才能给予学生更有效的帮助。模仿是学生学习的一种重要方式，这同样也适用于对创新思维的培养。教师可以向学生示范发现和提出问题的思维过程，让学生在模仿中反思与创新，逐渐学会如何发现并提出问题。教师提高自身提出和解决问题的能力，也有助于更准确地判断学生的困难所在，更科学合理地应对学生提出的问题。

从数学的角度发现和提出问题始终是数学教育的重要任务。本文对如何在数学教学中促进学生发现和提出问题进行了理性思考，希望数学教师在教学实践中更加重视培养学生发现和提出问题的能力，进行更有效的数学教学。

【参考文献】

[1]夏小刚.国内外数学问题提出教学研究的回顾与反思[J].数学教育学报，2005（03）.

[2]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[3]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]张利兵，涂荣豹.反思课本例习题引导学生发现问题[J].中学数学教学参考，2005（C1）.

[6]G·波利亚.数学与猜想（第一卷）——数学中的归纳和类比[M].李心灿，王日爽，李志尧，译.北京：科学出版社，2001.

[7]温建红.论数学教学中学生提出问题的意义及培养策略[J].数学教育学报，2014（01）.

[8]约翰·杜威.我们如何思维[M].伍中友，译.北京：新华出版社，2010.

[9]孙雨澜.数学教育中的“问题提出”：一些已经解决和未解决的问题[J].中学数学月刊，2017（10）.

[10]吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习[J].数学教育学报，2002（04）.