探究高中数学不等式的易错题型及解题技巧

龙泠羽

摘 要：在高中数学教学中，不等式内容占有很大的比重，而且其也是高考的重點与难点。因此，将对高中数学不等式的易错题型进行分析，并探究其解题技巧，希望可以加强学生对解题技巧的掌握与运用，从而有效提高数学成绩。

关键词：高中数学；不等式；解题技巧

不等式的学习对于高中生来说存在着一定的难度，而且也是其特别容易出现错的地方。因此，必须对高中数学不等式的易错题型进行整理，并总结相关的解题技巧，加强学生对知识的理解与运用，从而促进其更好地学习不等式知识。

一、不等式与线性规划相结合的题型与解题技巧

不等式与线性规划相结合这一题型由于涉及的知识比较多，如面积计算、定义域以及最值等，一直都是高考中考核的重点，而这也是学生最容易出错的题型之一[1]。

例题1：已知不等式组y≤-x+2，y≥kx+1，x≥0表示的平面区域是面积为1的三角形，求实数k的数值？

三条直线围成的图形是三角形是这道题的难点与易错点。由于这道题是选择题，所以只要准确画出三条直线的示意图，之后再把四个选项代入其中，就可以发现选项B是正确答案。

这类易错题型的解答技巧有两个：第一，对于求函数最值的问题，最重要的就是根据已知条件把其可行域准确画出来，并充分理解目标函数所代表的几何意义。第二，若是目标函数中存在参数的话，就应该分析目标函数的结论，通过对图形的动态分析，准确定位变化过程中的相关量，从而有效解决相关问题。

二、高次不等式题型与解题技巧

高次不等式也是高中生很容易做错的题型，而造成其出现错误的原因有三个：首先，学生经常会忽视题目中的某些隐藏要求，如在解答高次分式不等式的时候，学生就经常会忘记分母不可以为零这一隐性要求；其次，学生有时候还会忘记某些特殊的区域；最后，学生在利用“穿根法”解题的时候，不能准确判断函数的升降。

例题2：求不等式（x+3）·（x-2）·（x-4）≤0的解集。

学生在解决这一问题的时候，首先要把-3、2以及4这三个方程的零点在数轴上标出来，这样数轴就被分成了4个区间；之后，学生把最右边的第一区间设为正，并根据正负相间，标明每一个区域的正负号；最后，学生通过观察图示就可以得出这一不等式的解集是（-∞，-3]∪[2，4]。

这种高次不等式题型的解题技巧就是要学会利用函数图线简图对区间进行准确的划分，同时还要注意到某些隐性的要求。

三、含参不等式题型与解题技巧

含参不等式由于在不等式中含有未知的参数，所以算是不等式中比较难的题型，在解题的过程中，学生需要分析未知数，并保证没有遗漏、重复等问题。

例题3：求关于x的不等式ax2-2x+1>0（a为常数，a∈R）的解集。

在解这一问题的时候，学生要对a进行分类讨论，也就是分别讨论a>0、a=0以及a<0这三种情况。另外，在讨论a>0的时候，还要对Δ的值进行区分。

这类易错题型的解答技巧就是首先要把不等式看成一个函数，明确其定义域，之后再把函数的增减性当作基础，最后需要做的就是进行分类讨论，需要注意的是，在分类讨论之后，必须对分类的结果求并集，只有这样，才能得到准确的答案。

四、分式不等式题型与解题技巧

这种题型的解题思路与高次不等式差不多，但是由于学生忘记其中的隐性条件，所以成为一类易错题型。

在解这一题的时候，学生首先需要把不等式变成（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）≥0这一形式，之后学生由题算出（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）=0时的根为2，-1，6，-2。然后在序轴中标出这四个零点，并通过穿根法得出结果为（-∞，-2]∪[-1，2]∪[6，+∞）。由于忘记了分式中分母不能为零的条件，很多学生把这一结果作为最终答案，这也就是其出错的原因。因此，学生应该充分考虑分母为零的情况，继续进行解答，令（x+2）（x-2）≠0，从而得出该题的最终解集是（-∞，-2）∪[-1，2）∪[6，+∞）。

这一类型不等式的解题技巧就是熟练掌握与运用穿根法，从而使题目的难度降低，同时，在得出解集后，学生要充分考虑其临界点，看其是否能够纳入解集的范围，从而有效保证答案的正确性。

五、不等式恒成立题型与解题技巧

不等式恒成立这一题型通常是和抽象函数或者是数列联系在一起的，而这也就使得其具有较强的抽象性，从而容易使学生出现错误。

例题5（2014年陕西高考卷23题）：设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数。（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N*，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N*，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明[2]。

这道题需要学生结合函数导数以及不等式的相关知识求出闭区间上函数的最值，同时还需要对函数的单调性进行研究。这类题的解题技巧就是要使用分离变量或者是构造函数等方法，再通过基本不等式或者是函数的单调性等知识来求出答案。其中求最值的问题可以将其转变成基本不等式来进行解答。

通过以上分析可以发现，与线性规划相关的不等式、高次不等式、含参不等式、分式不等式以及不等式恒成立等题型是高中生容易出错的题型，因此，必须总结这些题型的解题技巧，并让学生掌握函数简图、穿根法等知识，从而使其有效避免错误的出现，提高其数学成绩。