浅淡数列中常见的几种数学思想

■河南省郑州市为民高中 黄一淼

数列是高中数学的重要内容之一,蕴含很多数学思想,这就需要同学们不断地去总结、提炼,以便大家更好地掌握数列的基础知识,提高同学们分析问题、解决问题的能力。

一、方程思想

等差、等比数列的通项公式,前n项和公式揭示的是首项,公差（公比）,项数之间的关系,应用时要善于抓住已知量与未知量的关系,特别是根据与首项、公差（公比）的关系选择恰当的公式,建立方程组去解决问题,这是数列中最重要的思想方法之一。

例1 在等差数列{an}中,a6=10,S5=5,求a8。

解：设等差数列的首项为a1,公差为d。

故a8=a6+2d=10+2×3=16。

二、函数思想

数列的通项an,前n项的和Sn都是n的函数,若能运用函数的方法和观点去分析处理某些数列问题,会起到事半功倍的效果。

例2 已知数列{an},an=-2n+10。

（1）求前n项和Sn;

（2）当n为何值时,Sn的值最大?

解：（1）因为an=-2n+10（an是n的一次函数）,所以数列{an}是等差数列,且公差d=-2。

因为n∈N*,所以n=4或n=5时,Sn的值最大,最大值为20。

三、分类讨论思想

数列的通项an与前n项和Sn的关系,等比数列前n项和公式都是分类给出的,因此在应用它们解题时要注意分类讨论。

例3 已知数列{an},前n项和Sn=-n2+2,求an。

解：（1）n=1时a1=S1=1。

（2）n≥2时an=Sn-Sn-1=（-n2+2）-〔-（n-1）2+2〕=-2n+1。

四、化归思想

非等差、等比数列的前n项和常常要化归转换为等差、等比数列的前n项和,从而使问题获得解决。