邵俊杰
摘要:数学概念教学是数学教学的具体任务之一,数学概念是数学知识体系的细胞,是建立数学理论的基础。教师可以设置正确、合理的教学目标,让学生理解概念的外延与内涵;可以通过各种有效形式让学生掌握抽象的概念。教师在概念教学中要培养学生的应用意识,这既是对概念的巩固,也是培养学生的能力与素质的重要环节。
关键词:数学概念;内涵与外延;抽象;应用
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2018)07-0079
数学概念是数学理论的核心和精华,理解和掌握数学概念是提高教学质量和水平的关键。因此教学中要注意让学生在解决实际问题的过程中,理解概念的内涵和外延是先决条件,教学中应该采用有效的方法使学生进一步体会抽象的数学概念。然后让学生在认识、理解、体会概念的基础上进行概念的应用。
人类在认识过程中,把所感觉到的事物的共同特点抽象出来,加以概括,就成为概念。概念反映的是客观事物一般的、本质的特征。在数学教学中,数学概念是教学的核心内容之一,是新知识的起点,是逻辑推理的依据,是合理运算的保证。由于数学概念比较抽象,很难在短时间里讲清概念的内涵与外延,导致很多教师不重视概念教学。教师更喜欢在课堂上讲解各种典型例题,课下布置各样的经典试题让学生练习,教师希望通过精讲精练习题来达到巩固概念的目的。事实证明:只要求学生解习题,而不给学生讲透数学概念、实质问题,都是授之以鱼而不是授之以渔。因此笔者认为有必要正本求源,教师必须进行系统而又严肃的概念教学。学生只有了解概念才能进行正确的思维活动和判断与推理。下面,笔者结合教学实践谈谈在数学概念教学中的几点感悟。
一、让学生理解概念的内涵与外延
数学概念教学的重点是让学生把握概念的内涵与外延,只有这样,才能揭示概念的本质和关键,促使学生掌握概念。
1. 概念的内涵
数学概念的内涵其实就是概念的“质”,是事物的本质属性,也就是概念的根本。如有理数的内涵是:整数和分数(有限小数和无限循环小数)。
2. 概念的外延是概念的“量”
是指适合这个概念的一切对象。即这个概念的延用范围。如各种函数:一次函数、二次函数、反比例函数等都是函数这一概念的外延。
3. 概念的内涵与外延的关系
概念的内涵和外延既相互依赖又相互制约。还存在着“反变”的相依关系:内涵越多,外延就越小;内涵越少,外延就越大。如从三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三种概念来分析,当它们的内涵越来越大,相反它们的外延就越来越小;反之它们的外延就越来越大。
明确了概念的内涵与外延,就等于把握住了概念的全部。内涵和外延是概念教学不可分割的两部分。只要揭示概念的内涵,就会涉及概念的外延。将两者相统一,才能使概念教学更加完美,从而提高学生的思维水平和数学素养。
二、让学生有效地掌握抽象的概念
数学概念都是从具体的实际问题中抽象出来的,因而具有高度的概括性和抽象性,学生较难理解。笔者认为要从这几个方面入手:
1. 借助图片、模型和多媒体等展示实物
学生对数学概念的理解要经历从表象到抽象、从直观到分析的发展过程。因此在教学中要重视概念的直观性和形象性,要充分利用好模型、图片、多媒体等手段帮助学生理解概念。例如:圆锥的侧面积和全面积是初中数学圆章节的拓展内容,这节内容包含了图形从平面向立体转化的重要思想,但由于学生对立体图形的了解十分有限且又缺乏足够的空间想象力,故对于圆锥的侧面积、母线、圆锥的高等概念理解有困难,这时如借助圆锥模型或采用多媒体教学,生动、形象地显示它们的构造及旋转情况,不仅可激发学生的兴趣,也可让学生通过观察联想到生活中的具体实例,两者相得益彰,既化解疑难,加深对概念的印象,又丰富了學生的想象,使抽象的数学概念与生活接近了一大步,在潜移默化中,学生的直觉思维也得以培养。
2. 借助旧概念,了解新概念形成的原因
从数学概念的特点可知,绝大多数的概念是建立在旧概念基础上的,能否有效建立起新概念与学生认识结构之间的有机联系,往往是新概念教学能否成功的关键。因此,教师可做一些铺垫来加强新旧概念之间的联系。例如:平面直角坐标系和函数是紧密相连、一脉相承的,由坐标系做铺垫,教师在通过表格、图像、数学表达式的展示,逐步引出函数的概念。再结合课本的例子,才可使学生对此概念形成初步印象。至于要学生真正理解函数概念,并不是一节课就能达到,需要今后通过学习各种具体的函数,才能逐步达到对函数有较深理解。
3. 引导学生用数学术语表达抽象的概念
众所周知,语言表达是概念学习过程中非常重要的环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理,而数学语言表达能力直接影响逻辑推理的进行,当然也影响到数学概念的形成。教学中,由于前面已有了充分的感知和理解,故可试着让学生自己概括出各种抽象的概念,教师在此基础上进行修正、提升,再形成完整的、准确的概念。例如:反比例函数概念学习“抽象概括”活动设计:(1)思考课本“三个引例”中两个变量与常量的意义联系,并总结三者之间的共性;(2)观察上述“三个解析式”,从形式上看三者有什么共同特征?题后反思:①从本质上:两个变量的积不变(k≠0);②从形式上:形如y=■(k≠0)的函数叫做反比例函数,常数k叫做比例系数,最后让学生自己概括反比例函数的概念。
4. 借助综合、归纳、分类形成概念体系
数学的本质不是纯理性的逻辑推演,而是通过归纳构筑在经验基础上的一门拟经验的科学。由于平时所学的概念比较分散、零乱,故要把杂乱的概念串联整理成一体化是一件较不容易的事。但有时若细心观察,耐心琢磨,不断推敲,借助综合、归纳、分类等方法就会发现概念的相似规律,若把这些分散的概念条理化、结构化、系统化,则有利于学生整体理解、整体记忆、整体运用。如在《四边形》这一章中,牵涉到几种常见四边形的概念,而这些概念又都建立在平行四边形的基础上,所以教师可引导学生一起整理、归纳、理清这一章的脉络:四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形——梯形——等腰直角梯形。
三、培养学生对数学概念的应用意识
实际应用是概念教学的根本目的。只有让学生感受到学习的价值和意义,才能激发学生的学习欲望,才能让学生乐于参与学习活动。在概念教学中培养学生的应用意识,其实就是要让学生有意识地用所学概念解决生活中的问题。这样,既是对概念的巩固,也是培养学生能力与素质的重要环节。实际应用,促进了课堂教学的情境设置,也使学生理解了数学概念。例如,在讲“锐角三角函数”时,对于三角函数的概念,教师可以用实际生活中的例子来引导学生探究,提高学生的应用意识和实践能力。例如:测量旗杆的高度,学生除了想到用学过的相似三角形之外,还可以用刚学的锐角三角函数来解决。如仰角60°时,量得自己离旗杆底端12m,则可以得出旗杆大约高多少米?再次移动位置,量出与旗杆的距离和仰角的度数,用计算器计算后检查求得的结果是否相同,从而加深学生对正切概念的掌握与实际运用,使概念教学的实用性得到体现,学生在“学会”的基础上“会用”,激发了学生进一步学习的动力,使学生由“学会”到“会学”。这种学习过程的体验是美妙的。
总之,概念教学,不仅是为了让学生获得更多的知识与技能,更重要的是让学生积累经验和掌握方法。教师要让数学概念深入学生学习的全过程,使学生在自主学习与合作探究中深入把握数学本质。概念教学,既要突出量的积累,又要注重质的提升,在为学生创设丰富生活情境的前提下,让学生探究发现概念,提炼概念。“授之以鱼,不如授之以渔”,概念教学是数学教学的正本,也是我们教学所求的源头活水。
参考文献:
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(作者单位:安徽省合肥市肥东县第三中学 230000)