一个有关椭圆问题的再探究

福建省仙游华侨中学 (351200)

黄美琴

文[1]对一道有关椭圆问题进行探究，得到了“椭圆和双曲线共有的一个有趣而优美的结论”. 读后颇受启发，但觉得意犹未尽，可以进一步探究下去.

一、结论再现

文[1]中结论2(其中结论1是结论2的特例)、结论4(结论3是结论4的特例)是有关椭圆短轴端点与焦点的一个关联性质，本文拟对这一性质进行再探究.先把文[1]的结论2、结论4综合如下：

二、纵向再探：由特殊到一般的探究

在上述结论中，A、B为椭圆E短轴的两个端点，即直线x=0与椭圆E的两个交点，如果把直线x=0放宽为定直线x=m(c≠|m|

由此可把上述结论1推广为

特别地，当m=0时，结论Ⅰ即为上述结论1.

三、横向再探：由椭圆到双曲线、抛物线的探究

由于双曲线的虚轴与双曲线没有交点，所以文[1]没有给出双曲线类似于上述结论1(即文[1]结论2 、4的综合)的性质. 其实，没有交点并不影响，类似结论1，容易得到

上述结论的证明可仿照文[1]的结论2、4的证明，本文从略. 至此，我们自然要问：结论I能否推广到双曲线的情形？

由此，上述结论Ⅰ可以推广到双曲线的情形.

再看抛物线，由于抛物线只有一个顶点，所以无法给出类似于上述结论Ⅰ(即文[1]结论2 、4的综合)的性质，那么，结论Ⅰ能否推广到抛物线的情形？

由此，上述结论Ⅰ也可以推广到抛物线的情形.

至此，我们完成了对文[1]的结论2、4的再探究，得到了文[1]的结论2、4的推广.