例谈数学解答题的优解策略

山东省寿光中学 (262704)

李元卓

在平时练习或考试中，常常遇到一些有难度或者有疑惑的题目，尤其是解答题，作为考试命题的主要题型，往往具有一定的难度和较大的运算量，有时难免陷入困境.能否迅速找到恰当的方法，及时突破困境，直接影响着解题速度和成绩的高低.为此我们将从以下几个方面谈谈如何突破困境，及时找到最优解法，希望对大家有所启示.

一、研究题目图形，探求解题方法

图1

有些数学题是通过图形给出的.解决这类问题，应该仔细研究题目图形，从图形的特点入手，寻找解题的突破口.

图2

二、观察题目结构，实现解题突破

例2 已知f(x)=x2-x+c的定义域为(0,1)，x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,证明|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.

一般来说形如|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|(m>0)型的不等式问题都可以利用上述方法求解.

三、着眼数量关系，寻求恰当方法

有些题目，乍看比较繁杂，一时难以入手.但如果仔细分析题目所给出的数值或变量，找出数量之间存在的一些特定的关系，就可以找到合适的解题方法.

四、正面思路受阻，逆向思维突破

有些题目从正面解题可能比较麻烦，甚至难以找到解题思路，这时不妨从逆向入手，寻找解决问题的思路和方法.

实事上，很多形如f(n)>g(n)型不等式的证明问题都可利用上述方法求解.

五、变换问题角度，突破解题困境

有些数学题目，或者难以解决，或者解题过程繁杂，按照常规思路容易陷入解题困境.但若变换一下问题角度，则可能会变得容易一些.

图3

分析：根据f(x)=h(x),得x3-6x2+9x-2=λ.令φ(x)=x3-6x2+9x-2，则φ′(x)=3x2-12x+9，由φ′(x)=0得x1=1，x2=3，所以φ(x)极大值=φ(1)=2，φ(x)极小值=φ(3)=-2，结合如图3可知当-2<λ<2时f(x)=h(x)有三解.于是问题转化成为当λ∈(-2,2)时，g(x)<0恒成立，求x的范围.

以下再按常规思路不易解决，但可以变换一下问题角度，把λ视为主变量，x为参数，将问题转化为关于λ的函数g(λ)=(log3x-1)λ+(log3x-1)2，当λ∈(-2,2)时恒有g(λ)<0.因g(λ)的图像为一直线，于是g(±2)<0，即

六、挖掘隐含条件，优化解题方法

有些题目的条件中，隐含着便于解决问题的某些条件或方法暗示，若能从中找出来，对问题的解决会十分有利.

例6 已知x1,x2是关于x的二次方程x2+ax+b=0有两个实根，且|x1|<2，|x2|<2,求证

2|a|<4+b.

分析：解决此题关键是能从|x1|≤2，|x2|≤2中挖掘出“函数f(x)=x2+ax+b的两个零点都落在(-2,2)之间”这一条件，利用一元二次函数零点的分布来解决，其他任何解法都非常繁琐.

七、两头分别入手，中间步步联系

有些给条件的求值或证明问题，在条件和结论中都可能存在很多信息，这时可以根据已掌握的知识，将条件和结论尽情发散出去，条件可能派生出若干结论，结论也可呈现多种形式，只要两者能够联系起来，问题就能得到解决.

再将结论发散开来：

从上述分析可以看到，从条件式入手推出了多个不同的结论.将结论式变形又得到了多种形式，只要从①②③等结论中找出与(1)(2)(3)…等形式匹配的式子，问题就得以解决.匹配的式子越多，题目的解法也就越多.就本例而言，可以找出的解法太多了，请同学们自己选择适当的方法求解.

八、利用等价转化，巧妙化归迁移

我们经常会遇到一些求解参数范围的题目，有的甚至含有多个参数，这类问题就要不断地将知识进行迁移，逐步化归成我们熟悉或易于解决的问题.

例8 已知函数f(x)=lnx-ax2-a+2，其中a∈R，若存在x0∈(0,1]，使得对任意的a∈(-2,0]不等式mea+f(x0)>0(其中e为自然对数的底数)都成立，求实数m的范围.

从以上几例可以看出，及时找到解题突破口，选取适当的解题方法，对于提高解题速度，优化解题过程，提高数学成绩，无疑是十分有益的.因此，在平时的学习中，我们应该积极探索归纳解题规律，熟悉必要的技巧，不断提高自己分析问题和解决问题的能力.