“数学化”理论对初中数学教学的启示

朱进红

[摘 要] 弗赖登塔尔认为，数学学科的教学，需要经历数学化的过程. 数学化就是数学地组织现实世界的过程，也是现实例子加工后变成数学概念的过程. 数学化包括水平数学化和垂直数学化. 数学化的教学过程涉及数学抽象、逻辑推理以及数学建模等，因而也是可以促进数学学科核心素养培育的.

[关键词] 初中数学；数学化；数学教学

如何看待学科教学，涉及教师的教学理念，也涉及以什么样的过程让学生更合规律地掌握学科知识. 对于数学学科而言，数学教师均知道其是研究数与形的学科，可从教学的角度来看，对这一判断的认识不能过于狭隘，不能据此认为数学教学就是让学生去研究数与形. 从教学的视角来看，又或是从学生掌握数学概念规律、形成数学认知，进而形成数学问题解决能力的角度来看，教师对数学教学的认知需要向学生的生活延伸，需要基于生活元素来构建学生数学学习的基础. 而这，就是数学化的过程.

所谓数学化，就是指人们在观察、认识和改造世界的过程中，运用数学的思想与方法来分析和研究客观世界的种种现象，并加以整理和组织的过程. 这样的界定是由弗赖登塔尔给出的，其进一步指出，数学化有两个层次：一是水平数学化，二是垂直数学化. 所谓水平数学化，就是现实问题向数学问题的转化；所谓垂直数学化，就是水平数学化后的进一步数学化. 前者是将现实情境用数学语言进行表述，进而表征为数学问题，而后者则是将现实问题转换之后得到的数学符号进行概念化处理，这是一个高度抽象的过程，与数学学科本质的关联程度较水平数学化更高. 初中数学教学中，水平数学化是数学知识构建的基础，而垂直数学化则更多地指向纯粹的数学逻辑与体系. 需要指出的是，数学化的两种层次都与数学学科核心素养密切相关，教学中不可有所偏颇.

水平数学化，疏通生活与数学联系的关节

水平数学化是现实问题到数学问题的转化，关于这一点，其实一线教师并不陌生，当前初中数学教学的过程中引入生活素材，以让学生的数学思維建立于生活之上，已经成为一个基本的教学理念. 因此笔者在这里更多的想强调其中的“转化”这一关键词. 结合笔者的教学经验，笔者以为水平数学化的关键在于构建与表征，即用数学思维去加工现实问题，用数学语言去表征思维的结果. 下面以“三角形全等的判定”为例，谈谈有效的建构与表征.

三角形全等的判定中，有一个非常有意思的现象，即教师对能够成功判定三角形全等的方法通常都是重点讲的，学生也是重点学的；但对于无法判定三角形全等的那些方法，似乎重视不够. 如“角边边”虽然不是有效的三角形全等判定方法，但学生在解题当中却又常常用到这些方法，很多时候教师都不知道学生是新学知识时没懂，还是实际解题时误用. 在笔者看来，这是因为学生在构建三角形全等认识时出了问题. 于是笔者就这样设计了教学过程：在黑板上画了一个三角形，然后让学生用事先准备好的学具——饮料吸管进行比画. 由于有了前面的相关证明过程，此时学生思维的重点并非要让手中的吸管三角形与黑板上的三角形全等，而是思考利用“角边边”能否让两个三角形全等，如果不能，那其中的原因又是什么？

这个思维过程中，学生会将手中的吸管三角形进行变形，去控制一角及另两边相等. 这个过程中学生的思维还是很有趣的，有学生一不小心，确定了“边角边”，误认为是“角边边”，然后认为可让三角形全等，待到别人提醒之后，立马像泄了气的皮球一样. 这个时候笔者还鼓励他：你看，你无意当中帮大家认识到“边角边”和“角边边”是不同的！也有学生在比画的过程中，通过吸管的变形，发现了原来“角边边”相等是可以出现两种可能的，而两种可能就意味着三角形全等不是必然的了. 这个时候，学生会兴奋地利用手中的吸管进行模拟，以让同学能够认可两种三角形的出现是正确的. 这种通过动作构建出来的三角形固然是思维的产物，但也可以看作是学生所构建出来的现实的三角形，这个三角形是实物体现的，更是数学角度的三角形，于是就实现了有效的构建.

在表征这个结论的时候，有学生这样说：两个三角形，如果只是一个角以及两个边相等，那这两个三角形不一定全等. 而其他学生则迅速更正：必须强调这个角不是这两个边的夹角. 在这样的语言表达过程中，可以肯定的是学生的思维必然随着语言的运用而在大脑中浮现出相应的情形，有了表象构建，笔者以为这样的一个数学化的过程就是成功的.

垂直数学化，完善学生基本数学认知结构

垂直数学化是水平数学化后的再次数学化，其强调基于符号认知的概念构建. 这样的描述似乎有些抽象，但其实很好理解，如果说水平数学化是认为学生对现实问题与数学问题的认识处于横向转变的话，那垂直数学化就是对已经形成的数学符号认知进行深度思考，以促进数学概念的显性形成.

众所周知，数学学习离不开数学概念的学习. 数学概念是怎样形成的？显然，不是说让学生去重复数学概念的名称、记忆数学概念的定义就掌握了数学概念. 数学概念的形成实际上是需要经历一个过程的，对符号化了的数学问题进一步抽象，并以合适的数学语言描述之，就是数学概念形成的重要途径.

例如，在上面的例子中，学生已经认识到“两个三角形，如果只是一个角以及两个边相等，而且这个角不是这两个边的夹角，那这两个三角形不一定全等”，其实这种描述更多的还是用的生活语言，也还只是一种概述，描述的只是当时探究情境中形成的认识. 经验表明，即时情境下学生是能够听得懂的，也是知道为什么的；而时过境迁，学生则有可能只知其然而不知其所以然，这意味着水平数学化的结果要想得到巩固，还需要学生建立持久的表象以提供支撑. 而对表象的描述，则需要经历一个垂直数学化的过程. 如笔者在教学中，让学生清晰地构建一个表象：黑板上的三角形记作ABC，手中吸管的三角形记作. 由于BC绕B点转动可能得到另一个三角形，所以全等是不成立的. 待这个表象清晰之后，教学就进入垂直数学化的阶段.

第一步，离开具体的实物与经验化表述，在大脑中重构表象. 这个表象就是“角边边”所可能出现的两个三角形，务必让学生大脑中的这个表象变得十分清晰. 此时教师可以让学生将此表象与“边边边”“边角边”等判定所用的三角形进行比较，这是一个纯粹的抽象思维过程，思维加工的对象不是实物形成的表象而是学生的想象表象. 在水平数学化的基础上进一步地抽象化处理，迈开了垂直数学化的第一步.

第二步，利用形成的想象表象，进一步抽象得出数学模型. 数学建模是数学教学的重要内容，同时也是数学学科核心素养的重要组成部分，其实，在数学化的过程中，垂直数学化的重要载体之一，就是数学模型. 在三角形全等的判定中，学生要建立的模型是不同判定法则下两个三角形全等的模型及其数学表述. 同样，如果说学生对有效的判定模型的认识是清晰的话，那对于像“角边边”这样的判定法则的表象常常是模糊的，而这会导致问题解决过程中的误用，因此建立它们的模型其实也是重要的. 这一步其实已经是综合性的过程了，在上面学习的基础上，学生将“角边边”的表象与数学表述结合起来，然后让学生用语言去描述——即“说出来”. 说出来是数学表示教学思想的体现，说出来的目的是让学生大脑中的数学模型变得清晰、准确，这可以避免学生在建模的过程中因为模型模糊而导致知识掌握不准确、应用低效等情形.

数学概念作为垂直数学化的产物，其最大的价值在于帮学生扩展、完善认知结构. 因为概念是建构数学认知的基础，也是认知结构中的有效结点，垂直数学化的过程，在深化学生概念认识的方面是起到重要作用的.

数学化理念，奠定数学核心素养培育思路

弗赖登塔尔在界定数学化的时候，明确提出数学化的过程就是数学地组织现实世界的过程. 这意味着数学教学要坚持从现实生活出发，走向数学的思路. 尤其是对于初中数学而言，更多、更复杂的数学知识，只有有效地依靠现实生活中的事例，才能让学生的数学学习建立在坚实的基础之上.

从核心素养培育的角度来看，我们可以看到数学化的过程中，需要让学生对现实例子进行数学抽象，需要让学生基于数学逻辑进行推理，也有充分的数学建模过程. 而根据史宁中教授的界定，这三者恰恰是数学学科核心素养最重要的组成部分，因此可以认为在初中数学教学中，坚持数学化的理念，是可以促进学生核心素养的养成的. 从这个角度讲，数学化的教学理念是可以立足于数学教学的传统，面向核心素养培育的未来的.