分类思想在数学复习教学中的应用

摘要：分类思想是高中阶段学习数学重要的数学思想方法之一，而进入高三阶段，在进行各类题型解答的过程中，分类思想更是扮演尤为关键的角色。所以，教师非常有必要深化学生对分类思想的理解，进而培养学生良好的数学思维能力，拓展学生解题思路。

关键词：分类思想；高三数学；总复习；解题思路

分类思想，不单单是一种数学思想，更是一种重要的解题方式，通过分类思想的运用，进一步完善解题的思路。而相比以往的教学方法，只是单纯给学生讲解一种解题方法，学生逐渐会被这种思想所束缚，并不能真正锻炼学生数学思维能力与逻辑能力。所以说，教师需要让学生依据不同题型进行相应的分类讨论，才能更好、更全面地进行解题，数学思维能力与逻辑能力才能有效提高。

一、 分类思想在函数教学中的应用

函数一直是高中数学教学中重要的知识点，在高考中占有一定的比重，所以，在复习阶段要给予足够的关注度。而在具体的教学过程中，作为教师，我们要突出重难点，要让学生知晓在解决函数问题时，函数概念不同、函数图像位置不同等都会导致结果的变化，所以，不可避免的就需要借助分类讨论思想高中函数题目。也就是说，在遇到这类题目时，要教导学生要注意根据具体情况进行分类讨论，来采取不同的解题思路，最终完美解决函数问题。

例如：在研究与二次函数相关的问题时，由于这类题型主要分为两大类，定轴动区间和动轴定区间，所以，就不可避免地进行区分。在授课过程中，我向学生强调区分的必要性与介绍如何分类。接下来，我向学生介绍了定轴动区间的典型特征，即题目会提供完整的函数表达式，区间未知，比如：y=x2+3x+4在区间[m，m+1]上最小值为3，求m。而这类题型的解题思路为：应首先判断对称轴的位置，对称轴为x=-b/2a=-3/2，然后依据对称轴的位置进行区间范围的划分，从而再分类解出答案；而对于动轴定区间，我也是通过典型例题进行讲解，并让学生具体结合题目进行练习。在这节课的讲授过程中，关于函数类型的分类讨论很重要，因为这对于后期的解题尤为关键，只有熟练掌握分类依据与相应解题思路，才能更好更快地解决这类题目。

二、 分类思想在数列教学中的应用

分类思想体现了归类整理的方法，对于学生逻辑思维能力的提升很有帮助，而在高中数列教学过程中，也在一定程度上考察学生的逻辑思维能力，这也离不开分类思想。同时，高中数列又是高考的必考知识，数列在求通项公式、求前n项和以及数列的周期性等许多问题中，都要进行分类讨论来解题。所以，这就需要学生借助分类讨论思想逐个击破数列解题上的难点，从而，完善解题思路。

例如：在系统复习数列的周期性时，为了让学生借助分类思想来更好的解题，我通过这样一道有代表性的例题进行讲解：设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范围是什么。

题目公布后，学生都知道先赋值n=1时，a1=S1>0，所以得到首项必为正数，然后根据q进行分类，我向学生提问：“可以分为哪种情况呢？”学生积极回答：“分为q=1与q≠1两类进行讨论”。接下来，我继续带领学生一同解答此题，首先，第一种情况：令q=1时，Sn=na1>0；第二种情况：即q≠1，此时表达式为Sn=a1·（1-qn）/（1-q），令Sn>0，即为（1-qn）/（1-q）>0，最终得到q>-1且q≠0，即q的取值范围应该在（-1，0）∪（0，+∞）。通过这道典型数列题，学生意识到对于没有说明q的取值范围时，要分情况进行讨论，同时，在讨论过程中，要系统、全面来研究题目，不能遗漏知识点，这样才能得出完整答案。

三、 分类思想在不等式教学中的应用

不等式教学是高中数学教学中一种较为普遍的数学问题，而在高三阶段，由于难度的提升，学生虽然能知晓要通过添加绝对值以及变换符号来改变不等式，但是对于分类思想的运用不到位，这会对学生接下来的运算造成困扰。因此，教师要善于采用分类讨论思想来解决不等式，通过给予学生正确的示范让学生逐渐掌握不等式学习的思路，让学生在解题时能借助分类思想理清系统思路，对于题目有完整的认识，进而增强学习信心。

例如：在复习讲授这样一道关于x的不等式方程：x2-（a+a2）x+a3>0我首先让学生进行思考，然后我再带领学生一同系统解答。学生看到题目，都知晓因为两根含有参数，需讨论两根大小，所以将不等式化为：（x-a）（x-a2）>0，对应方程两根分别为：x1=a，x2=a2，学生能计算到这一步，但是对于接下来如何分类讨论，往往会让學生思路混乱，所以，我向学生强调：要对a和a2大小关系进行分类讨论。

第一种情况：当a>a2时，得出0a2或x

第二种情况：当a=a2时，即a=1或0时，当a=0，原不等式的解集为x≠0，当a=1时，x≠1

第三种情况：当a1或a<0时，此时不等式解为x>a或x

最终根据a的取值不同得出不同的不等式解集，我通过这样步骤详细地进行引导示范，让学生对于运用分类思想进行解答不等式有了更清晰的认识，在以后的解题过程中，通过这样一步步的计算，形成自己的分类思考思维，真正的掌握了这部分知识。

总而言之，借助分类思想可以更好地解决数学问题，对于学生养成完善的逻辑思维很有帮助，使学生对数学乃至其他学科的学习都养成一种严谨的态度。所以说，教师要善于借助分类思想进行教学，从而，提升学生自身解题能力以及数学素养。

参考文献：

[1]刘祝芸.关于分类讨论思想在高中数学解题中的应用思考[J].经贸实践，2016（19）：80.

[2]朴希兰.分类讨论思想在高中数学教学中的应用[D].延边大学，2015.

作者简介：

张天慧，黑龙江省哈尔滨市，哈尔滨市工业大学附属中学校。