高中数学核心素养之“数学模型”能力培养案例探析

安徽省蚌埠市第九中学 (邮编：233000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的. 高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数学分析.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.”

随着新时代教育信息化的迅速发展，应用数学知识解决实际问题成为数学教育发展的趋势. 数学核心素养能力培养的最重要的形式——数学建模，是利用所学知识，通过建立数学模型解决生活中的实际问题. 通过抽象建立能近似地刻画并“解决”生活问题的一种强有力的数学手段. 通过运用数学思维去观察、分析内在规律以及用数学的符号和语言作表述来建立各事物之间的关系，从社会生活的具体情境问题中抽象出与我们所学习过的的数学模型，进而实现利用数学模型来解决实际问题的目的[1]. 主要过程包括：在实际情境中从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解、验证结果并修整和重新构造出新模型，最终解决实际问题[2].

笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数学建模能力[3]. 如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心素养能力的培养，值得一线数学教师思考与讨论. 下面就从数学建模案例出发，浅谈一下学生核心素养的根植与培养.

1 三角函数模型的建构与应用

三角函数建模方式有两种：一是三角函数中的“形”的问题借助“数”来突破；二是三角函数中“数”的问题借助“形”来突破.

常见三角函数模型有：(1)正弦型函数模型y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)；(2)余弦型函数模型y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)；(3)正切函数模型y=Atan(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

探析本题属于三角函数中“数”的问题. 凡是三角函数中求函数的定义域、值域、最小正周期、函数的最值、单调性等，都是通过构建已学过的正弦型、余弦型和正切型函数模型来解答.

2 立体几何模型的建构与应用

立体几何的研究对象都是从现实生活中抽象出来的，因此在教学过程中，教师应该多强调数学建模的学习价值，引导学生亲自经历运用数学建模方法探索与解决一些生活、生产中的实际问题，积累用数学方法解决实际问题的一些经验，既能提高学生学习数学兴趣和积极性，又能发展学生的数学建模核心素养[4]. 常见几何体油箱、水坝等有关空间问题转化为立体几何模型去求解，往往使得问题迎刃而解. 空间几何体模型，例如长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，就是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体.模型建构的过程是培养数学核心素养的有效载体，模型建构教学是培养学生数学核心素养的重要途径.

例2(2016年江苏卷理科第17题-仓库存储容积模型) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图1所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的四倍.

图1

(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

模型建构探析从(2)的问题出发，以PO1为自变量建立体积的函数关系式. 已知两种几何体的底都是正方形，将正四棱锥的高于底面边长联系起来，先用PO1=h分别表示正方形边长

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·OO1=62×8=288(m3).

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).

(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0

所以可得a2=2(36-h2).

下面利用导数或不等式放缩不难求出其最值.

素养教学评析试题给出的是仓库的容积计算，从数学的视角发现该实物实际就是正四棱锥和正四棱柱，学生很容易就能运用已有的数学模型，构建解决问题的两个体积之和求算仓库体积. 本题综合考查了函数的概念和导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识. 从高考试题的考查形式来看，学生的数学核心素养培养是迫在眉睫，考查空间想象能力和运用数学知识分析、解决实际问题的能力。这些能力的凸显就是核心素养的落脚点.

3 向量模型构建与应用

涉及空间角度问题时，可以通过建立向量模型，借助空间向量运算来解决问题.

(1)求二面角B-PD-A的大小；(2)求证：M为PB的中点；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

图2 图3

向量模型应用分析本题考查直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法. (2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；

解析(1)略;(2)取AD中点G，由PA=PD，得PG⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，

设平面PBD的一个法向量为m=(x,y,z),

取平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)．

故二面角B-PD-A的大小为60°；

立体几何的教学是高中数学教学中的难点，而立体几何教学的根本目的在于培养学生的数学核心素养，其中关键在于提高学生的空间想象力，增强空间感知能力．为了实现这个目标，我们需要在直观想象的基础上培养学生的理性推理论证能力，借助理性思维来提高对空间量的感知力，并用科学的眼光分析空间问题．要帮助学生丰富和积累解决空间问题的典型模型和经验，通过线面位置关系的等价转化来抽象数学问题，提高解决问题的效率. 在空间想象能力一时无法发挥作用时，要引导学生通过空间向量的辅助功能来增强想象力，充分发挥直观想象和空间向量各自的优势，以此来科学而有效地分析空间几何体的数量关系．

4 构造函数模型解决不等式问题

例4(2017年江苏卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：b2>3a；

核心素养下构造函数案例教学解读：本题研究函数的性质，如单调性、极值及零点问题，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，最为关键的一点还是多次构造函数模型来解决问题.所以说数学模型构造水平是核心素养培养下的一个非常重要的落脚点.

5 解析几何中的最值模型

图4

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析(Ⅰ)由题可知

故直线AP斜率的取值范围是：(-1，1).

所以|PA|·|PQ|=(1+k)3(1-k),

通过数学模型案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析、空间直观想象等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现[6]. 应用数学的意识肯定能得到逐步增强. 可以说六大核心素养是蕴含在模型建构教学的整个过程中的，因此数学模型建构教学是培养学生数学核心素养的重要途径.