关于香港与大陆高中教材中概率与统计内容的比较研究

☉华南师范大学附属中学 林 琪

大数据时代的到来，带给我们的三个颠覆性观念转变：是全部数据，而不是随机采样；是大体方向，而不是精确制导；是相关关系，而不是因果关系.在这种情形下，即便告知了所有数据信息但不加解释，不懂的人依然不知道数据代表的信息.大数据不仅没有推翻传统的统计学，反而促进了统计学尤其是多元统计分析的应用.我们有理由相信，概率与统计的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识，数据分析已成为高中数学的核心素养.

高中数学课程中的概率统计部分也是我国当前数学课改的重要组成部分.通过对香港的概率统计部分教材的比较研究，不仅可以开阔我们的视野，也可以反思我国概率统计课程设置的现状，以及需要改进的地方，同时对课堂教学多一些启示和借鉴.作为教育工作者的我们更需要不断地更新自己的知识体系，以更清晰的头脑去迎接新挑战.

一、教材信息对比

中国大陆人教A版是依据2003年《普通高中数学课程标准（实验）》编写的，分必修5本及文科选修2本、理科选修3本，鉴于大陆《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“标准（2017年版）”）不分文理教学，因此以下选取的人教A版教材为理科所学内容.

表1 教材样本及基本信息

二、教材比较

（一）两版教材概率与统计内容的比较

香港新高中数学与生活涉及概率与统计内容部分有3本书，A4开本，三本书合起来大约是490页，学时大约为102节；人教A版有2本书，A4开本，两本一共大约200页，学时大约为60节.具体内容比较见表2.

香港目前使用的各种版本的高中数学教材，都是依据2007年制订的《数学课程及评估指引（中四至中六）》编写的.朗文香港教育出版公司出版的教材香港新高中数学（以下简称“新高中”）分为必修部分（4A、4B、5A、5B、6A（6B为复习用书））和延伸部分（相当于大陆选修数学内容），延伸部分又分为单元一（微积分与统计）、单元二（代数与微积分）.根据香港2007年颁布的《新高中课程及评估指引》（数学）要求，所有高中学生必须修读数学必修内容才可以毕业，也可以在必修部分之外再选修单元一或者单元二中的其中一个单元内容.

《微积分与统计2》的序言指出：“为希望对数学应用有更广阔、更深入了解的学生而设计”；“旨在让学生涉猎在必修部分以外的数学技能——微积分与统计；从中学生不仅能掌握这两方面的概念和技巧，更能对数学的应用有更深入的了解.本系列亦帮助学生在将来的事业发展上，具备更广阔的眼界.”从这里可以看出，《微积分与统计2》是供相当于大陆的理科学生选修的.

表2 教材知识内容对比

第11章离散概率分布：随机变量；离散概率分布及其表示方法；离散随机变量的期望值和方差18选修第12章一些特殊离散概率分布：伯努利分布；二项分布；几何分布；泊松分布；选用适当的概率分布解生活中的问题6 第2章随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列；条件概率；二项分布；22第13章正态分布及其应用：连续随机变量的概念；正态分布；正态变量的标准化；正态分布的应用第14章点及区间估计：统计推论简介；样本平均值的抽样分布；点估计；区间估计12第3章统计案例：回归分析；独立性检验16

就高中数学而言，学习的概率论知识通常包括概率及其基本性质、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、条件概率和一些常见的概率分布等.统计知识有收集数据和分析数据两方面，前者是抽样调查，包括随机抽样方法等内容；后者是统计推断，包括抽样理论、参数估计（点估计、区间估计）、假设检验、回归分析等.

在概率方面，两套教材涉及的内容基本相同（见表3）.相较而言，新高中数学的内容更详实一些，知识广度更大，知识深度更深.以两个或多个随机事件的概率部分为例，人教A版只涉及互斥事件、对立事件及条件概率、独立事件，而且主要处理的是两个随机事件的概率问题，没有推广到三个，甚至多个随机事件的概率问题上更多是特殊形式，对于一般形式的概率加法公式及乘法公式则是只字不提.新高中数学对概率的加法定律则涉及非互斥事件概率求解并配有相应的例题与习题，概率的乘法定律这部分内容则先后安排了条件概率与独立事件、贝叶斯定理这两个主题，除了两个随机事件的情况，还推广到一般情形.

表3 教材知识差异对比内容对比

在统计方面，两套教材均涉及抽样调查.在统计推断方面，新高中数学在分析数据方面是以抽样理论及点估计等统计的复杂知识为主，主要从随机变量的角度理解抽样，认识一个随机样本的样本平均值的抽样分布、总体平均值的置信区间.人教A版则是以相关分析、回归分析、独立性检验为主，意在让学生体会统计方法在生活及决策中的作用.从知识广度而言，人教A版涉及的内容更多一些.张奠宙曾指出“对统计的学习要比概率的学习多一些，因为统计数据中隐藏着概率的特性”，这在中国大陆高中统计与概率教材中得到了较好的体现.但从知识深度来看，新高中数学涉及的统计知识难度更大，为了更完整地建立知识体系，在点估计一章中设置了无偏估计、点估计、抽样分布、中心极限定理、置信区间等内容，这对高中生来说，在认知与理解上还存在一定的困难.比如中心极限定理不是一个定理，而是一组定理，分别适用于不同的条件.但基本可以用一句话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限.这些都是理解的难点所在.

以上均可看出新高中数学更注重知识体系的完整性，与大学教材能更好地衔接，但由于难度要求是比较高的，所以学生理解起来会比较费力，教师的教学也存在极大的挑战.人教A版则舍难取易，这是因为中国大陆涉及统计与概率的教学起步较晚，教材编写更多地贴合学生的认识水平.但在部分知识的处理上，人教A版过于重视特殊情形，忽视一般情形，这会容易使学生的认知结构产生偏差，知识体系出现漏洞，易对后续大学严谨性的学习产生不良影响.

（二）教学内容编制先后顺序

从两套教材概率统计的内容编制设置的差异性来看，最为明显的有如下两个方面：

1.概率与统计孰先孰后

香港新高中数学是先学概率再学统计，主要是因为概率是统计的理论基础.在必修及选修中，新高中数学先将概率理论体系建立起来，搭建了更好的知识框架.后续学习选修中的统计问题时，在建立随机变量的基础上，利用概率理论进行研究.这样有助于学生建立清晰完整的概率体系，对统计问题有更深的认识.

人教A版是先统计后概率再到统计案例，先从生活中数据收集等统计问题入手，到随机现象规律的发现，再到实际应用.这里体现的是从生活到数学再到生活的理念，学生更容易接受生活中的统计现象，进而提升到理论学习的阶段，再利用统计知识解释生活现象，这样安排符合学生的认知结构.

实际上，概率论是统计学的基础，而统计学是概率论的发展，两者密不可分，孰先孰后均可以处理，但更为深层次的统计学知识必定是在概率论的基础上学习，可以看到两套教材在选修部分均是先概率再统计的结构.

2.理论与应用孰先孰后

香港新高中数学在必修概率学习中，将事件互斥、独立、概率的乘法公式、条件概率均放置其中，理论体系更为完整，同时将排列组合等理论先行，意于在新知识学习之前扫清方法及原理障碍，达到一气呵成之效.在随机变量及后续的几章中，教材是通过日常的一些概率问题理解离散型随机变量，并研究其性质、均值与方差，到特殊的分布列，再到正态分布（连续性随机变量），理论体系更严谨，知识应用更到位.

人教A版的处理是先离散型随机变量，后二项分布（主要安排了什么是二项分布），再离散型随机变量的数学期望与方差，再研究二项分布的均值与方差.这种处理体现的是螺旋式上升，理论与应用交错前行.但人教A版将条件概率、独立性均作为二项分布学习的辅助性知识，放在《二项分布》一节.这种呈现方式一方面容易使学生在知识范畴上出错，误将条件概率、事件的独立性归属为随机变量的范畴，影响了学生知识结构的建构；另一方面忽略了这两者在整个概率与统计学习中的重要作用，尤其是事件的独立性，它不仅是超几何分布的基础，也是独立性检验的基础.

理论是应用的基础，应用是理论的实践，两者密不可分，但对于二项分布或其他特殊的分布列来说，不应打乱理论体系，而是类似新高中数学一样，作为特殊的分布列进行研究.当然在前面随机变量的理论学习中，可以像新高中数学一样提供更多丰富生活的例子，从概念的外延辅助学生理解.

（三）两版教材概念教学的处理方式比较

1.概率概念的处理

香港新高中数学从理论概率定义了概率，提及了样本空间（未进行说明），再到实验概率，谈到实验中有足够的试验次数，则实验概率与理论概率非常接近.香港新高中数学处理概率的概念处理起来比较简洁，没有拖泥带水，而且依托于初中概率知识，后续着重于新知识的研究.

而人教A版是从生活中的随机现象谈起，再到度量随机事件发生的可能性大小，从实验概率的角度定义概率，并对频率与概率进行比较，通过概率的意义一节，从概率的正确理解、游戏的公平性、决策的概率思想、天气预报的概率解释、试验与发现、遗传机理中的统计规律这六个方面加深对概率的理解.理论概率则是在古典概率模型中研究得到.从这里可以看出人教A版的概念学习更注重体会与感悟，更重视对实验概率的理解.

概率定义一般涉及古典定义（理论概率）、统计定义（实验概率）、公理化定义这三种形式，大部分高中教材是以前两种开展教学，可以发现两套教材对于样本点、样本空间均未涉及.但作为概率的概念而言，如果未能学习随机试验、样本空间、样本点这部分概念，学生会对概率的概念难有更深层的理解，在处理概率问题时学生还容易产生“什么是基本事件，怎么才算基本事件”这样的疑惑.适度的抽象并不是坏事，增设样本点、样本空间这部分知识可以促使学生更好地理解概率的内涵，对后续的古典概型、几何概型的理解可以有更多的帮助.

2.正态分布的处理

香港新高中数学在选修中专门有一章介绍正态分布，教材处理时开门见山，直接从许多数据呈正态分布，给出正态分布的定义及性质，并介绍了标准正态分布及正态变量标准化，并能利用标准正态分布表求概率，以及处理涉及正态分布的应用问题.

人教A版两处出现正态分布，一是在必修3第二章统计的《用样本估计总体》的课后阅读与思考《生产过程中的质量控制图》出现，介绍了3σ原则，阐述了运用统计原理进行产品质量控制的基本思想；二是在选修2-3的离散型随机变量的均值与方差之后，再从高尔顿板引入，从试验次数的增加及球槽的去掉后，研究小球落在高尔顿板的位置引出并定义了正态分布.这个过程中体现了样本容量比较大的时候，二项分布近似于正态分布.在正态分布的处理上，人教A版更多地是认识什么样的随机变量服从正态分布，体会相应的性质，并只涉及一些特殊的概率值的求解.

从知识容量可以看出，香港新高中数学更重视正态分布，一方面是香港新高中数学更追求知识的严谨性与系统性，另一方面是正态分布是后续点估计及区间估计的理论基础，也是中心极限定理的基础.相比较，人教A版更注重正态分布的应用尤其是3σ原则，2017年新课标Ⅰ卷还以其为背景设置了概率统计题.但实际上，人教A版对与正态分布相关的一些理论学习并未到位，学生对于正态分布的理解很少，应用起来也很困难.因此，人教A版仍需加强对正态分布的学习，可将标准正态分布编入高中数学教材，更好地解决正态分布的概率分布问题，以帮助学生更好地理解正态分布.

3.两版教材概念处理的思考

两版教材概念处理时，均会从生活中相关的问题引入，注重与生活的联系.香港新高中数学则多从概念外延寻找例子，这样有助于学生从中抽取概念的本质特征，归纳得出概念的内涵.人教A版的引入方式相对更多元化一些，有些是概念外延的例子，有些是与概念相关的历史（如高尔顿板），将数学史融入到教材中，学生阅读起来会相对更有趣一些.但人教A版这种方式有时也会使得学生对于这部内容过于关注，导致主线不明朗，知识结构不够清晰，同时也不够直接干脆.倒不如将类似这样的内容改为课后阅读与思考，一方面可以提升数学的趣味，另一方面可以增加学生的知识应用.

（四）两版教材其他方面的对比

1.总结框架对比

曹飞羽先生认为：“一个学科的教材结构必须是能反映这个学科的各要素、各成份（包括知识、技能、智能、思想观点等）之间合乎规律的组织形式……它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知识结构转化为学生的认知结构.”人教A版“统计与概率”部分非常到位地做到这一点，结构合理，其知识间纵横联系比较紧密.人教A版还结合本章节内容进行回顾与思考，并设置了一些相关的问题.香港教材在这点上远不如中国教材，只是呈现重点知识及重点例题的罗列，但对于知识内容之间的关联性未能体现.

2.例题及习题对比

新高中数学教材题量大，每一节配有例题，例题解答中以公式居多，并在旁边加以注释，如说明符合或使用了哪个定律或公式、解题锦囊、备忘、草稿等.每个例题后配有即时练习题.每一节后面设置了初阶、进阶两个层次的练习题.每一章后面设置了总复习题，分初阶、进阶、挑战题三个层次.

人教A版每节一般都配有相应的例题，在例题后面有时会设置相关思考题，作为例题的补充，完善学生的认知结构.在每小节之后设置了练习题，在每一节后面设置了A组、B组题，每一章后面设置复习参考题、实习作业等，既培养了学生动脑的能力，又培养了学生动手的能力.

从这里可以发现两本教材例习题的设置方法大致类似，理念也比较一致，能注重学生不同维度的能力发展.从题量上来看，新高中数学题量相当于人教A版的2倍左右，背景更多元更新颖，有助于学生自主选择，达到及时反馈的作用，但也致使教材又厚又重，用起来不方便.人教A版更精挑细选，例题与习题分开，阅读感受会更舒服，学生也能更快速把握知识体系，意在指导学生能从有限的题目去理解知识的本质.

三、结论与启发

（一）两本教材优缺点的归纳

香港新高中数学概率与统计这部分内容知识体系比较完整，理论涵盖特殊及一般情形，部分比较复杂的定理未给出证明而直接应用，注重对概念、定理的解读及注释，例题习题典型且丰富，比较全面地覆盖了重要的知识点与方法技巧，确实能为进入大学学习概率统计的学生打下比较扎实的基础.从阅读的感受来看，教材图文并茂，从不同的色块能快速锁定知识.但因各类习题量过多，又加之每个习题都附有答案，致使教材厚重，用起来不太方便.

人教A版在统计与概率这部分内容重在应用，贴近生活；在知识引入方式和表征方式上，方法灵活多样；例题及习题能串联起其他学科的知识，综合性强.但在知识体系中主要是概率相关理论先后顺序有点不太合适，并过分关注特殊情况的研究，这会让学生对于概率体系理解时存在偏差，还容易产生一些负面影响；还不利于学生学习大学的概率论与数理统计的相关知识，因为他们还必须重新学习样本点、样本空间、条件概率与随机事件的独立性、全概率公式和贝叶斯公式等概率的知识.

（二）向香港新高中数学教材学习的内容

1.概率与统计理论内容更趋于严谨，适当增删知识

两版教材的知识点重合度比较高.人教A版中的回归分析及独立性检验这两部分内容虽然香港新高中数学未涉及，但相对而言实际背景比较贴合学生的日常生活，理论比较符合学生的认知水平.新高中数学中点及区间估计、中心极限定理这部分内容是人教A版未涉及的，但其理论相对比较深，是结合概率的角度研究统计问题，对于高中生来说理解起来比较困难.

曹一鸣教授在《高中数学课程标准的国际比较研究》一书对十五个国家的文科或理科，基础或专业的课程标准中的概率对比中，提到“列联表”、“线性相关”、“最小二乘法”、“区间估计”、“置信区间”等是次受重视的，可以发现人教A版的知识点覆盖还是比较合理，如果增加了点及区间估计等相关内容，有可能会增加学生的学业负担，同时不一定所有的学生能在这一部分知识上得到能力的发展.

另外，从标准（2017年版）发现，对于更深层次的概率与统计的内容在A类课程的概率与统计专题及B类课程中的应用统计专题再进一步提升.这也将是即将面世的教材中一大亮点，也是课程标准（2017年版）理念“学生发展为本，立德树人，提升素养”的体现.

A类课程（数理类）概率与统计专题B类课程（经济、社会、部分理工类）应用统计专题概率连续型随机变量及其分布（均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布）、二维随机变量及其联合分布（均值、方差、协方差、相关系数）连续型随机变量及其分布（均匀分布、正态分布、卡方分布、t-分布）、二维随机变量及其联合分布（均值、方差、协方差、相关系数）统计参数估计（矩估计和极大似然估计）、假设检验、二元线性回归模型参数估计（矩估计和极大似然估计）、假设检验、二元线性回归模型、聚类分析、正交设计

在细节方面的知识点，标准（2017年版）也有改变（详见图1），如增加了概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式（选学内容），这与香港新高中数学的内容会更接近，不谋而合.

当然，香港新高中数学教材特别注重概率问题解决中的策略主要包括韦恩图、树形图、点阵图等，在离散型随机变量注重概率分布的多元表征，将函数、图像等形式显性地表现出来，如果新版教材也能在这些方面有所学习，会更好地提高学生解决问题的能力.

2.厘清统计与概率各部分内容的关系，适当地调整编排顺序

标准（2017年版）理念中强调“优化课程结构，突出主线，精选内容”，专设了概率与统计这一条主线，现行人教A版在概率与统计这部分的知识结构有待调整，从标准（2017年版）可知有如下几个方面变化（见图1）：

图1 中国大陆普通高中课程标准（2017年版）概率与统计内容主线

（1）先概率后统计，体现了“概率为统计的发展提供理论基础”.

（2）事件的独立性安排在必修部分的随机事件的概率中，条件概率及乘法公式（新增）则放在选修部分.这使内容的相关性更强，结构更为合理.排列组合仍安排在选修课本中，这与新高中数学不同，其主要目的是为了在必修学习概率问题时淡化运算，让学生更多聚焦到对古典概型的理解上，经历建立概率建模的主要步骤.

（3）在统计初步，以收集数据、分析数据为主，并选择适当的统计图表描述和表达数据，再从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的统计规律，解决相应的实际问题.回归分析、独立性检验的这部分相对比较难的内容整合到选修中.

（4）概率将结合具体实例，从样本点、样本空间去理解随机事件与样本点的关系，从古典概型中去理解随机事件发生的概率，即理论概率.而这一理想化的理论数值无法通过具体实践获得，人们可以通过大量的重复试验获得的频率来估计概率的大小，从而引入概率的统计定义，作为概率的补充，促进概念的理解.