对一些命题的否定要注意避免逻辑上的错误*

☉福建省泉州第五中学 黄种生 王辉耀

一些数学题，理解或从正面直接求解有困难时，经常会用到命题的否定，间接理解或者间接求解，这时常常会发现，问题变得简单了.但这不是绝对的，有时候在对命题进行否定时，问题并没有变得简单，反而更复杂了，不小心还会出现推理上的错误，引起思维的混乱.下面指出几个高中常见的此类问题，以期引起大家的重视.

例1 设全集为R，求下列集合的补集.

分析：这题有两种解法，解法一是先解不等式求集合A，再求A的补集；解法二是用命题的否定，先写出集合A的补集的形式，再解不等式求出A的补集，现用解法二解题.

解：（1）RA={x|x2-3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}.

由第（2）和第（3）小题知道，对不等式进行否定，不仅要在不等式有意义时进行否定，还要考虑到不等式无意义时变量的取值范围，否则就会出现错误.

例2（陕西人民出版社出版的2018年理科数学《创新设计二轮专题复习》P83的例6）若对任意t∈［1，2］，函数在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是______.

解法一：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.若g（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则g（′x）≥0在（t，3）上恒成立，或g（′x）≤0在（t，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，当x∈（t，3）时恒成立，所以m+4≥-3t恒成立，则m+4≥-1，即m≥-5；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，当x∈（t，3）时恒成立，所以m+4≥-9，即m≤-.

所以，使函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的m的取值范围为-＜m＜-5.

解法二：g（′x）=3x2+（m+4）x-2.

因为g（x）在区间（t，3）上不总为单调函数，所以g（′x）在（t，3）上的值有正有负，由于g（′0）=-2＜0，所以方程g（′x）=0的根必是一正一负，且正根在区间（t，3）上.

所以，使函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的m的取值范围为-＜m＜-9.

分析：解法一是书本提供的“规范解答”，它是先对命题进行否定，求出命题的反面时m的取值范围，从而求出m的取值范围.解法二是从正面出发，直接求出m的取值范围.两者的答案是不一样的，即两种解法中必有一种是错误的.分析发现，解法一是错误的，即书本提供的“规范解答”是错误的，那么，它错在哪里呢？就错在对命题的否定上.

由于原命题是全称命题，必须用到对全称命题的否定，所以它的否定是“存在t0∈［1，2］，使得函数g（x）在区间（t0，3）上为单调函数，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.”

而解法一是这样写的：“若g（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t，3）上恒成立.”它并没有指出t的取值范围，但从解题过程中我们看出，它用的是上述问题对任意t∈［1，2］恒成立，这一判断不是对原命题的否定，从而是错误的.

因此，从反面求解，正确的解法是：

解法三：g′（x）=3x2+（m+4）x-2.如果命题不成立，则存在t0∈［1，2］，使得函数g（x）在区间（t0，3）上为单调函数，即存在t0∈［1，2］，使得g′（x）≥0在（t0，3）上恒成立，或g′（x）≤0在（t0，3）上恒成立.

由3x2+（m+4）x-2≥0，得m+4≥-3x，当x∈（t，3）0时恒成立，即存在t∈［1，2］，使m+4≥-3t，则m+4≥00-5，即m≥-9；

由3x2+（m+4）x-2≤0，得m+4≤-3x，当x∈（t，3）0时恒成立.

所以，使函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的m的取值范围为-＜m＜-9.

从例2可以看到，解法一对命题的否定时，没有把“任意t∈［1，2］”改为“存在t0∈［1，2］”，从而出现了逻辑上的错误，导致书本提供的“规范解答”出错.

例3（2018年全国理科Ⅰ卷第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立.

（Ⅰ）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.

（Ⅱ）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（1）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E（X）；

（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

分析：高考后，本题第（Ⅱ）问的（2）有争议，问题出在对题设条件“是否对余下的所有产品作检验”的理解不同.

理解一：这是官方的理解，本题是统计题，面对的是大批量的产品，产品成箱包装，每箱200件，每箱先抽取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，这里的选项只有两个：要么对余下的所有产品作检验（全检），要么对余下的所有产品都不作检验（全不检），不存在部分检验的问题，由此得到的官方解答是：

解法一：（Ⅱ）（2）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检查费用为400元.

由于E（X）＞400，故应对余下的产品作检验.

站在统计学的角度来看，这种解答是没有问题的，因为它考虑的是实际需求，要检验的是大批量的产品，不仅仅是一箱，而是许多箱，所以只需对“全检”和“全不检”的费用作比较即可.但是，懂得这种统计学背景知识的只有具有产品检查经验的人才知道，普通高中生和中学一线数学老师对这种背景要求并不清楚，他们只能从题目的文字表述中去进行理解，这就产生了第二种理解.

理解二：“是否对余下的所有产品作检验”包含两个内容：

①是.对余下的所有产品作检验，即“全检”.

②否.不对余下的所有产品作检验.这是对全称命题的否定，包括对余下的所有产品都不作检验和对余下的部分产品作检验，部分产品不作检验，即“全不检”和“部分检”.由此产生了第二种解答：

解法二：（Ⅱ）（2）设对这箱余下的180件产品中的r（0≤r≤180）件产品作检验，检验费用与赔偿费用和记为Y，则E（Y）=2r+25（180-r）×=450-，易知E（Y）单调递减，当r=180时，E（Y）取得最小值.

所以应对这箱余下的所有产品作检验.

从以上分析可以看出：站在统计学的角度来看，题目是正确的，题意是清楚的.但是，普通的高中生和中学一线数学老师对这种背景要求并不清楚，由于高中生在高中数学课本逻辑部分学过对全称命题的否定，高考还经常在选择题中对此进行考查，而且该题目又是出现在全国的数学高考卷中，因此，第二种理解及相应的解法是正常的、合理的.从中我们看到命题人虽然用心良苦，但由于忽视了对全称命题的否定的理解，从而引起了争议.如果注意到这个问题，把题目中的题设条件“再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验”改为“再根据检验结果决定对余下的所有产品要么全作检验，要么全不作检验”.这样改虽然稍显繁琐，但题意就更明确了，不会引起误解.

从上可以发现，对一些由式子表达的命题，恒成立的命题，由“或”与“且”连接的命题进行否定时，要注意其逻辑关系，才不会出错或者引起思维的混乱.