高中数学不等式解题技巧探析

【摘 要】高中数学的学习对我们的逻辑思维能力有着较高的要求，而其中不等式部分的知识更是考试中的重点及难点内容。因此，在高中数学学习的过程中，如若没有对不等式的相关知识掌握清楚、准确，则将会在考试中丧失分数。所以，高中生熟练掌握不等式的解题技巧，对提高数学能力有着积极的作用。

【关键词】高中数学；不等式；解题方法

在高中阶段的数学学习中，对于我们的逻辑思维能力具有非常高的要求。而在这之中，针对不等式这一部分的内容而言，更是考试当中的重点与难点。所以，我们在学习高中数学的时候，如若没有将不等式的有关知识进行较好的掌握，那么在考试过程中遇到有关题型时，必定不能进行较为全面的解答。因此，我们一定要把不等式解题方法加以掌握，以此使自身的数学解题能力得到一定提升。

1绝对值不等式的解题方法

针对绝对值不等式而言，在数学学习过程中，这是我们经常见到的一种不等式类型，同时这种题型在不等式中的难度也相对比较大。因此，我们在解答有关问题的时候，应当首先把不等式中的式子，通过同解的原理，将其转变成不等式组。通常情况下，不等式组都是根据一次或是二次不等式构成。而针对两个以上的绝对值构成的不等式来讲，可以先令各个绝对值内的式子为零，将x的值求出。然后把各个不等式内为零条件下的x值，在数轴上进行标注，并在数轴上零的地方画线，最后把共同的区域写出，从而获得正确答案。比如，A：x?1<3，B：（x+2）（x+a）<0，如果A为B的充分不必要条件，那么a的取值范围为多少？在对此题进行解答时，针对我们一些学生来讲，可能会求出以下错误答案：根据x?1<3，便可得出-24，也就是a≤-4。

2线性不等式的解题方法

在我们平时考试的试卷中，很容易考查到有关线性不等式的题型，但是通常都不会特别困难，不过还是要对此引起足够重视。因为在线性不等式的题型之中，涵盖了非常多的知识点，主要包含定义域、值域与图形之间形成的面积变化规律等。尽管这一类题型在解答过程中较为容易，不过出错的概率也相对比较大，针对线性不等式的具体应用来讲，其关键解决的问题包含以下两种情况：第一，在给定具体条件的情形下，将线性不等式的知识加以应用，从而获得最大值。第二，在给定具体任务的情形下，将其他条件的最小值求出。例如，如若<0恒成立，那么实数k的取值范围为多少？A、-1

针对此种题型来讲，其解题方法关键包含了下面几点：第一，针对给定的具体条件当中，图形边界没有包括在其中的时候，应该注意使用虚线對其边界进行标注。第二，针对线性题题型当中的二元一次不等式解题过程中，想要将其实际的面积范围加以明确，可以在直线之外任意选择一个点，将其代入至原不等式之中。当其坐标使不等式达到满足的时候，那么就能够证明此点位于有关区域之中。而当此该点的坐标与原不等式不相符的时候，那么就能够证明直线的另一侧为所求区域。第三，在平移直线的时候，应当要求直线经过所求区域。第四，当不等式题目和具体问题联系在一起的时候，应当按照题目的要求，选择区域经过的象限。第五，简单线性规划问题，其主要就是将线性目标函数在线性约束条件下的最优解求出，不管这一类型的题目是通过什么具体问题提出，其求解的格式和步骤都不会发生任何改变。

3.换元法解不等式的技巧

所谓的换元法，其实质是在对高中不等式进行解答的过程中，对较为复杂或者出现频率较高的式子，运用一个数学符号或者变量的形式对其进行替换，将其代入到原式之后，能够将原式大幅简化，提供一定的解题便利。换元法主要有两种换元形式。（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题；（2）增量换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c等）的不等式中，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点。

4.反证法解不等式的技巧

所谓的反证法，其实质是有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。该类证明方法在对几何问题以及不等式问题进行解答的过程中，其使用频率较高。例如，已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd。其证明方法如下：因为a，b，c，d，x，y都是正数，所以要证xy≥ac+bd，只需证（xy）2≥（ac+bd）2，即（a2+b2）（c2+d2）≥a2c2+b2d2+2abcd，展开得a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd，即a2d2+b2c2≥2abcd。由基本不等式，显然成立。所以xy≥ac+bd。该类题目在解答的过程中，从正面对其实施证明难度相对较大。因此，运用反证法从反面对其 进行解答，能够有效地提高解题的速度，保证正确率。

5结语

在高中阶段的学习过程中，针对不等式这一部分内容来讲，其是我们数学课程中的一个重要知识点，并且，这也是经常致使我们在考试中失分的主要内容。所以，我们在学习过程中，应当对不等式这一内容的重要性有一个较为全面的认识，进而对不等式解题过程中容易出现的问题做出总结。并且，我们在对此进行总结之后，还需将不等式的解题方法进行较好的掌握，通过这样的方式提高自身的解题速度与能力，以至使自身的数学成绩也随之得到较大提升。

参考文献：

[1]龙泠羽.探究高中数学不等式的易错题型及解题技巧[J].新课程（下），2018，No.459 09 313.

[2]邵永杰.高中数学不等式解题难点及有效解题方法[J].数学学习与研究，2018，17 137.

[3]段明康.高中数学不等式解题技巧总结[J].亚太教育，2016，No.72 33 79.

[4]高强.高中数学不等式部分的易错题型及解题技巧[J].数理化解题研究，2016，No.320 07 16.

作者简介：

粟雨（2001-6），女，贵州遵义人，汉，高中，贵州省遵义市第十七中学高三8班，主要从事高中数理化研究。

（作者单位：贵州省遵义市第十七中学高三8班）