常微分方程在数学建模中的应用分析

石梦彤

摘 要：采用常微分方程可以将许多实际问题转变为数学语言进行研究，在数学建模中应用较为广泛，是一种重要的数学建模工具。本文首先对常微分方程的概念基础及建立过程进行分析，进而对常微分方程在数学建模中的具体应用进行例题解析，主要以新品推广模型、车间通风模型、混合溶液模型的建模过程为例。

关键词：常微分方程 数学建模 应用分析

引言

作为一种数学建模的常用工具，常微分方程可以起到联系实际、简化问题分析过程、提升数学建模合理性的作用。目前关于常微分方程在数学建模中应用的研究较多，但多数是从理论层面展开分析，缺乏对于实际问题建模过程的研究。而在实践过程中，需要具体掌握利用常微分方程建模的方法和步骤，因此需要结合实际生活、生产中的问题，对其进行具体研究。

一、常微分方程的概念基礎及建立过程

1.常微分方程概念基础

常微分方程在数学建模过程中的应用，需要将复杂的现实问题抽象化，也就是用数学概念和语言，描述现实事物之间的关系，总结出数学规律，并用常微分方程的形式进行表示。在许多实际问题的求解过程中，都可以看到常微分方程的应用。其中，常微分方程的应用合理性主要取决对实际问题归纳、提炼、总结是否合理，还要通过系统的演绎推理，建立数学模型体系，明确需要求解的问题，并对最终结果进行检验，确保其能够满足实际问题研究的需求。因此，在常微分方程的建立过程中，应充分考虑研究对象的数学意义，这对学生的数学语言表达能力和联想能力等都有较高要求，需要在长期的实践总不断总结经验，从而掌握这种实用性较强的数学建模方法，提高数学知识技能的实际运用能力[1]。

2.常微分方程建立过程

常微分方程的建立过程主要包括以下几个重点环节：（1）在方程建立过程中，要熟练运用学习过的基本定律，不仅包括数学定律，还有物理中的牛顿运动定律、万有引力定律、胡克定理、阿基米德定律等。在研究现实问题的过程中，合理判断应该运用何种基本定律建立方程十分重要;（2）根据导数定义建立常微分方程，这是常微分方程最常用的一种建立形式，利用函数语言对现实问题进行描述时，如果函数f（x）可微，那么△x与△y的比值则表示y相在x点的瞬时变化率，比如在研究人口增长问题、放射问题、经济学边际问题时，都可以采用这种方法;（3）利用微元法构建常微分方程，在运用这种方法时，需要确定微元之间的关系式，直接利用相关定律构建数学模型。比如实际问题中要求的变量Y是与自变量X变化区间[a，b]有关的量，那么Y在[a，b]区间具有可加性，可采用微元方程构建常微分方程，在区间[a，b]内选取一个小区间，求出其部分量△Y近似值，该近似值表示一个连续函数在x处的函数值与dx的乘积，即△Y≈f（x）dx=dY，则dY即为Y的微元，可对方程两边同时积分，求解出Y[2]。

二、常微分方程在数学建模中应用的例题解析

1.在新品推广模型中的应用

新品推广问题就是在市场中，有一种新品等待推广，这种新产品在t时刻销售量为x（t），介于产品性能优越，每个产品都能作为一种宣传品，也就是说t时刻产品销量增长率dx/dy与x（t）之间存在正比例关系。另一方面，产品销量具有一定市场容量，用N表示，而且产品销量增长率dx/dy与潜在顾客购买的销量也存在正比例关系。可以构建模型dx-dy=kx（N-x），其中，k>0。通过对变量进行分离，然后对方程两边同时进行积分处理，可以得到x（t）=N/（1+Ce-kN），dx-dt=cN-2ke-kN-（1+Ce-kN）-2。从而能够判断出，在x（t）大于0小于N时，dx与dt的比值大于0，这表示新品的销量x（t）是单调递增的。在Ce-kN-2=0时，有x（t）=N/2，此时d-2x-dt-2=0。在x（t）大于N/2时，则有d-2x-dt-2<0，那么x（t）

2.在车间通风模型中的应用

在车间通风模型的构建过程中，首先假设车间抽象出来的数学参数为长=30m，宽=30m，高等于12m。在车间生产过程中，空气中的二氧化碳含量为0.12%，假设通入新鲜空气中的二氧化碳含量为0.04%，如果要在10分钟后，将空气中的二氧化碳含量控制在0.06%以内，每分钟需要通入多少立方米新鲜空气。在求解这一问题的过程中，首先应明确几个变量关系。其一，二氧化碳增量等于二氧化碳加入量减去排出量，二氧化碳流进量等于流进速度乘以新鲜空气中的二氧化碳含量再乘以时间。那么根据上述问题描述，在（t，t+dt）时间内，二氧化碳进入量为agdt，二氧化碳排除量为aydt。瞬时t下的二氧化碳总量为vy，t+dt时刻的二氧化碳总量为vy（y+dy），那么二氧化碳增量可表示为v（y+dy）-vy=vdy。进而能够得出dy/（y-g）=-（a/v）dt。通过求解可以得出，y=（y-g）e-avt+g，最后求解出，d（-v-t）×ln（-y-g），其中，v=10800，t=10，y=0.0006，g=0.0004，通过带入到方程中进行计算，可以得出a=1500m3/min，即每分钟需要通入1500立方米新鲜空气，才能使车间二氧化碳浓度在10分钟后降低到0.06%。

结语

综上所述，通过对常微分方程在解决实际问题时的数学建模方法进行研究，可以看出常微分方程的适用范围非常广泛，而且能够准确描述出实际问题抽象出来的数学变量之间的关系，为相关生产、生活领域的分析预测工作提供依据。

参考文献

[1]屈红雁，杜润梅，徐文达.把数学建模思想融入常微分方程课程中的探讨[J].数学学习与研究，2017（13）：25.

[2]沈冬梅，张胜利.数学建模在常微分方程建模中的应用[J].科技展望，2015，25（27）：196.