例谈数学学习中的一题多解

丛天辰

摘要： 在我們学习数学的过程中，不仅要跟随老师进行知识点的记忆，也要善于自己动脑思考，将老师讲解的知识进行汇总和总结，形成更加贴合我们自己解题的知识网络，有效进行一题多解的探索，从而在提高自身发散思维的基础上，也能对其他知识点予以应用。作为一名高中生，在本文中我总结了一些我的学习经验，希望能和同学们分享。

关键词： 高中数学;一题多解;向量求最值

中图分类号： G634.6    文献标识码： A    文章编号： 1672-9129（2018）09-0162-02

Abstract：  in the process of we study mathematics， not only to follow the teacher to the memory of knowledge， also must be good at their own brain to think， to teacher knowledge summary and summarized， the formation of more fit our own knowledge network， and the problem solving effectively the exploration of more than one solution， to improve their divergent thinking， on the basis of can also be applied to other knowledge. As a high school student， I summarized some of my learning experience in this article， hoping to share with my classmates.

Key words：  high school mathematics; Multiple solutions to one problem; Maximizing vector

1 针对向量求最值问题的多种角度分析

在高中数学中，向量是非常关键的基础知识点，我们在应用其进行解题的过程中，要从多个角度进行系统化分析，结合自己的学习经验，有效建立相应的解题思路。从多角度对问题进行分析，不仅能对题目有更加明确的认知，实现答案检验的目的，也能夯实我们对于其他知识点的内化水平，从而提高我们对于数学知识的应用能力。在这里，我以一道例题为例，和同学们分享数学学习中一题多解的具体应用方式。

题目：可知 和 是两个单位向量，存在 · =0的关系，如果向量  - -  =1，则求解| |的最大数值为（ ）

A 2 -1  B 2   C 2 +1  D 2 +2

题目解析：结合题目中的相关条件能利用四种解法进行判断。

题目解析：

第一种，利用减项处理方式，形成关系式为| |= （ - - ）+（ + ） ≤  - -  +  +  =1+ 2 ，则选择C选项。

这里，  +  2= 2+ 2+2 · =2，所以，  +  = 2

第二种，利用数形结合的处理方式对题目进行求解，绘制图一：

假设 + 是o ， - - =o -o =p 且|p |=1，就表示C点是在以P为圆心，以半径为1的圆上进行运动，由此可知，若是O、P、C三点共线，则能得出| |的最大 数值为 2 +1，   的最小值为 2 -1，故选择C。

第三种，利用柯西不等式进行判定，假设 =（1，0）， =（0，1），设 =（x，y），则 - - =（x-1，y-1），就能得出相应的关系式（x-1）2+（y-1）2=1，化解公式得出x2+y2=2x+2y-1。此时应用柯西不等式，得出1=（x-1）2+（y-1）2≥（x+y-2）2/2，则x+y≤2+ 2 ，x2+y2=2x+2y-1≤3+2 2 ，得出| |= 2 +1，选择C。

第四种，主要是借助向量的特性，利用模平方对具体问题进行分析，   - -  2= 2+ 2+ 2+2 · -2 · -2 · =1就能对其进行变式处理，即：   2-2（ · + · ）+1=0。利用 · + · = ·（ + ）≤   ·  +  = 2    的等式得出   2-2 2    +1≤0，| |是在 2 -1和 2 +1之间取值，则最大值为 2 +1，故选择C。

结合题目不难发现，利用四种不同的思考角度对同一个题目进行分析和判断，分别为减项处理、数形结合、柯西不等式以及向量特性，涉及不同的知识点，但是都是对式子进行适当的变化，这种方式在我们高中数学解题中较为常见，且应用几率也较大[1]。利用不同解题思路和方式能有效实现对不同知识进行训练的目的，且能对第一个计算结果进行验证，确保答题准确率。

2 一题多解对高中数学学习的启示

数学本就是一门关注逻辑思维的科目，我们在学习过程中除了要紧跟老师的教学步伐，也要善于主动思考，并且按照逻辑思维建构自己的听课过程，并且实现学习过程的最优化。数学学习过程要结合我们自身的学习习惯，确保相应的学习过程和学习机制都能得到拓展，为我们后续学习工作的开展提供保障，实现数学成绩和数学能力的双向提升[2]。

首先，一题多解能有效拓展我们的发散思维，真正实现举一反三的学习作用，因为，我们在老师的引导下要独立思考相应的数学问题，充分应用学习过的数学知识，将其进行重组和加工，有效提高答题准确率。

其次，我们要善于形成一题多解的思维，利用这种方式熟练掌握解题技巧和解题思路，从而提升解题速度。在高考中，不仅要保证解题准确性，也要提升自身的解题速率，从而在答题结束后进行有针对性的检查，此时就要充分发挥一题多解的优势，从不同角度和不同思路对题目进行分析。

最后，我们在完成一题多解后，要将相应的例题记录在总结题目册中，从而逐渐形成多角度理解题目、分析题目的思维方式，熟练掌握一题多解题目的解题思路和解题要点，巩固知识的漏缺。在高中数学学习过程中，数学习题训练非常关键，我们不仅要对练习题进行知识网络结构的分析，也要对相关知识予以调取和校对，从而逐渐提升自己的数学综合能力。

3 由一题多解引发的思考

数学本身就是一门较为复杂的科目，我们在学习过程中会遭遇更多的难题，我们都要学会应用不同角度思考问题的方式，提升解题效率的同时，也能逐渐形成多元化思维，对于我们学习其他高中科目也具有重要的意义和价值。最重要的是，在一题多解的过程中，我们的发散思维也能得到有效激发，这对于我们的高中学习生活而言十分关键，为学习成绩和学习能力的全面优化奠定了坚实基础[3]。

4 结语

总而言之，作为高中生，我们在解题过程中不能约束自己的思维，而是要尽量使用多元化逻辑思维对题目进行分析，合理性开展“一题多解”的尝试，从而提升解题效率和准确率，确保能为高考提供保障。

参考文献：

[1]濮安山.例谈“一题多解”的数学教育价值[J].现代中小学教育，2016，32（7）：57-60.

[2]王咏芳.生源多样化背景下运用一题多解培养学生数学思维能力[J].职业技术，2017，16（10）：69-71.

[3]朱扬德.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用[J].中学生数理化（学研版），2015（7）：12-12.