高中数学排列组合问题的常见解法

林萍

[摘 要]排列组合是组合学最基本的概念，也是高中数学重要的知识板块之一. 虽然排列组合不是高中数学最难理解的知识板块，但却是高中数学最容易出错的板块之一.想要简单、准确地解决排列组合问题，就要掌握排列组合问题的解题方法和技巧.高中数学排列组合问题的常见解法有“特殊元素特殊安排”法、捆绑法和画图法.

[关键词]排列组合问题；常见解法；高中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）20-0011-02

排列组合是组合学最基本的概念，也是高中数学的重要知识板块之一.排列组合问题因题型多变，隐含条件复杂，导致学生在计算上容易出现偏误.掌握有效的解题方法是学习排列组合的捷径.本文主要归纳总结高中数学排列组合问题的常见解法，以期能帮助学生有效解决排列组合问题.

一、特殊元素特殊安排

在高中数学排列组合题中，有一些较为特殊的隐含条件，它们构成了特殊元素和特殊位置.在解题的过程中，应挖掘和转化隐含条件，优先安排特殊元素和特殊位置，从而使题目化繁为简.

[例1]0、1、2、3、4、5这六个数可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

这道题看似容易，实际蕴含了三个隐含条件，首先是“五位数”，也就是说我们只考虑从6个数中选择5个数的情况，六位数、四位数都不在考虑的范围内.其次是“没有重复”，这意味着选择的过程中可用的数是逐次递减的，属于组合问题.最后是“奇数”，这意味着个位数只能从1、3和5这三个数中进行选择.因此在解决这道题时，首先个位的限制条件是最多的，因此优先安排个位，那么个位只能从1、3、5三个数中任选一个，那么就有C[13] 种情况；其次含有特殊位置的是首位，虽然首位没有限定条件，但是由于题目说了必须是五位数，因此首位不可以是0，故只有C[14] 种情况.在安排完特殊位置后，可以再来考虑中间没有特殊要求的三位数，中間三位数应在剩下的4个数中选取3个，同时是有顺序的，因此需要用排列，共有A[34]种情况.因此这道题目的答案是C[14] C[13] A[34]=288（个）.其实这道题还可以进行延伸，如将题目结论改为“可以组成多少个没有重复数字的奇数？”或是“可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？”，难度就大大增加了.因此在实际教学中教师若常常为学生示范例题，然后再通过改变条件让学生进行拓展训练，就能收到显著的教学效果.

二、利用“捆绑法”解决相邻元素问题

在排列组合题中，时常会出现“相邻”这一条件，而“相邻”这一条件不止涉及一个特殊元素或者位置，更多的时候会涉及两个或者多个特殊元素或位置，运用上文所阐述的解题方法并不实用.因此在实际教学中可以运用“捆绑法”来解决相邻元素的问题.

[例2]7个人站成一排，要求甲、乙两人相邻同时丙、丁两人也相邻，问共有多少种不同的排法？

在解决这类问题时，可以运用捆绑法.首先由于甲和乙必须相邻，丙和丁必须相邻，因此我们可以把甲和乙看作一个整体，丙和丁看作一个整体，在满足甲、乙相邻、丙丁相邻的条件下一共有多少种排法.这时甲和乙看作一个整体，丙和丁看作一个整体，相当于一共就5个人，那么排列方式就是A[55].但是我们不能忽略虽然把甲和乙看作一个整体，丙和丁看作一个整体，但是这两个捆绑元素内部仍可以进行自由排列，因此这道题最后的答案是A[55] A[22] A[22]=480（种）.在解决这类题目时，首先需要找到特殊元素和特殊位置，然后用捆绑法将它们视为一个整体，最后进行排列，排列完后一定不能忘记捆绑组合内部的排列方式.其实这道题目还可以进行变式，就是将“相邻问题”转化为“不相邻问题”，如将题目中的“甲、乙相邻”改为“甲、乙不相邻”，那么这道题就有两种解题方式，一是算出总排列种类再减去相邻的种类就是不相邻的种类；二是将“捆绑”变为“插空”，可以把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻的元素插入两者之间.当然这道题目运用相减的方式较为简单，但是如果题目再进行变化，不相邻的元素增多，那么只有用“插空”的方法才是最简便的.

三、应用“画图法”正确理解已知条件

在排列组合题目中，有一类题目看似与常见的题目相同，但是如果按照常见题目的解法进行计算就会得到错误的答案.因此在实际计算时当发现条件与常见题目有偏差时，可以采用画图的方式，更加生动直观地展示出题目的含义.

[例3]8个人在8人席的圆桌上就座，问共有多少种坐法？

如果这道题不进行画图，认为与普通的直线排列是一样的，按照常规的算法计算就会出现错误.其实由于围成了圆形，所以就没有了首尾之分.因此在计算这道题时可以采用画图的方法将具体内容展示出来.如下图，将8人用A、B、C、D、E、F、G、H分别表示出来，然后假设从A的位置进行平面展开，那么展开后形成的图像A在首尾两处都存在，也就是没有首尾之分.因此这道题的答案不是“8！”，而是“7！”.因此通过画图可以帮助学生梳理知识：一般而言，n个不同的元素作为圆形进行排列，共有（n-1）种排列方式.如果从n个不同元素中取出m个元素作为圆形排列，则共有[1n]A[mn] 种方式.

四、合理分类与分步解决问题

分步与分类是解决排列组合问题的两种不同的计算方式.我们都知道，分步对应着乘法原理，分类对应着加法原理.在排列组合题目中，有的需要运用加法原理，有的需要运用乘法原理，有的需要两种原理搭配使用.因此在实际教学中需要合理运用分类与分步对应的原理解决相应问题.

[例4]在一次联欢会上一共有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞.现在需要出演一个2人唱歌，2人跳舞的节目，请问有多少种选法？

其实这道题就是含有约束条件的排列组合问题.通过已知条件，我们知道10名演员中8人会唱歌，5人会跳舞，那就说明有（8+5）-10=3名演员，既会唱歌又会跳舞.因此可以重新梳理一下题意，就变成了10名演员中，2人只会跳舞，5人只会唱歌，3人既会唱歌又会跳舞.因此这时候可以按照元素的性质进行分类，按照实践发生的过程分步.其实通过条件发现一共有三大类，一类是会唱歌的5人中没有人选上，第二类是会唱歌的人中有一人选上，第三类是会唱歌的人中有两人选上，这三类数学分类，运用加法原则.因此第一类有C[23] C[23]种方式，第二类有C[15] C[13] C[24]种方式，第三类有C[25] C[25]种方式.而最后的结果就是将这三类相加，共有C[23] C[23]+C[15] C[13] C[24]+C[25] C[25]种方式.因此在解决带有约束条件的排列组合问题时，我们可以明确隐含条件中的层级关系，运用性质进行分类或者分步，从而让解题水到渠成.类似这样的题目还有很多，看似复杂无从下手，但是只要找对了方法，解题便如抽丝剥茧般容易.

综上所述，排列组合虽然只是高中数学的一个知识点，但是排列组合的题型千变万化，解题方法也是各有千秋.本文只是从上述几个方面对排列组合问题的解题技巧进行了分析.排列组合是高考数学的考点之一，虽然难度不大，但是容易出现计算错误的现象.因此作为教师，需要不断研讨，不断总结，归纳出排列组合问题的解题方法，为学生引导灵活的思维和便捷的解题方式.同时，希望本文可以起到抛砖引玉的效果，通过与广大教育工作者的交流，推进高中数学排列组合教学的精进.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 于水青.排列组合问题的求解方法与技巧[J].山西师范大学学报（自然科学版），2014（S2）：15-17.

[2] 汤蕾.能力在有效教学中升华：浅谈新课改下高中数学有效性教学中能力素养的培养[J].文理导航（下旬）， 2011（11）：9.

[3] 刘明君.高中生排列组合认知水平研究[D].兰州：西北师范大学，2016.

[4] 石伟娜.高二理科生运算能力的调查研究：以圆锥曲线教学为例[D].石家庄：河北师范大学，2016.

（责任编辑 黄春香）