解析每一单元 上好每一课时

凌佳 彭亮

【摘 要】“不等关系与不等式（组）”新授课的教学设计试从“问题情境，突出重点”“提出问题，引发思考”“合作探究，达成共识”以及“应用反馈，拓展提升”等四个方面来予以思考，以期帮助学生习得这一课时中最为核心的知识及其相应的数学思想和方法，以为后续单元知识的学习做好铺垫。

【关键词】单元知识结构；不等式；新授课；教学设计

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）43-0013-03

【作者简介】1.凌佳，浙江省杭州第十一中学（杭州，310014）教师；2.彭亮，南京晓庄学院（南京，211171）教师教育学院讲师，教育学博士。

一、基于单元知识结构的课时教学设计

基于单元知识结构的教学设计意在从整体上重新思考单元知识的教学，这其中，就单元中某一课时的教学设计而言，需在重新确立的单元知识结构基础上，明晰其核心知识和学习价值，从而将核心知识和学习价值以某一问题情境的形式出现引发学生学习，进而通过问题的变换和深入引导实现教学的展开。

一方面，就某一课时的内容分析而言，重在从单元知识结构的角度来予以思考和判断。单元知识结构是某一课时教学内容分析的准绳，教师在进行单元知识结构的教学设计之时，并非仅从某一课时的内容出发来进行设计，而需把这一课时的内容放在单元知识结构中予以重新审视，其意在从单元整体的视角获得关于这一课时内容的要点及其数学思想和方法的深入认识。因而，基于单元知识结构的课时教学设计应从整体上关联数学知识或是其所体现的数学思想和方法。

另一方面，就某一课时的教学设计模式而言，其重在将这一课时内容的要点及其数学思想和方法，通过某一问题情境的形式引发和展开教学。如若某一课时内容的要点及其数学思想和方法能在单元知识结构下予以明晰，那么，教学实践中理应凸显这一要点及数学思想和方法。鉴于此，问题情境的聚焦或可让学生充分体会某一课时内容的要点及数学思想和方法，进而通过变换问题情境中的数学问题，帮助学生深入学习相应课时内容的要点及其数学思想和方法。

基于单元知识结构的课时教学设计可在课时内容分析的基础上，通过“问题情境，突出重点”“提出问题，引发思考”“合作探究，达成共识”以及“应用反馈，拓展提升”四个环节来进行思考。其中，“问题情境，突出重点”旨在以某一问题情境的方式，将某一课时的内容要点及其数学思想和方法予以体现；“提出问题，引发思考”旨在从问题情境中提出与这一课时内容要点及其数学思想和方法相关的问题，从而引发学生思考；“合作探究，达成共识”旨在通过师生、生生互动和合作，达成关于相关问题的共识，从而学习这一课时内容要点及其数学思想和方法；“应用反馈，拓展提升”旨在引导学生将所学内容运用于相关数学和实际问题中，并将其所学习的数学思想和方法进行适当的拓展和提升。

二、基于单元知识结构的课时内容分析

本节课是苏科版初中数学七年级（下）的一节新授课，是在学生学习了简单的“不等号和不等关系在生活中的表达”基础上进行的。就本单元的知识结构而言，其中心线索是一元一次不等式（组）的问题解决。这一问题解决的实现基础是一元一次不等式（组）的概念和一元一次不等式（组）的算理；分析路径主要是代数法和图像法。此外，其所蕴含的主要数学思想与方法有数形结合、类比以及换元化归等。由此，本单元的内部知识结构可由下图表示。

图1 一元一次不等式（组）单元知识结构图

仅就本课时而言，学生不仅需学会用数学符号来表达问题情境中所蕴含的不等式（组），还需通过不同的问题情境以丰富对数学符号的体会，并体验在解决有关不等关系问题中的不同数学思想和方法的意蕴。

不等式是描述数量关系的一种模型，它是学生构筑代数思维的基础。代数思维的基础是能将文字语言（生活语言）与符号语言（数学语言）进行对应，在这里，符号语言不仅是指对字母的数值含义的明确，也包括了对其中数量关系的明确。因此，通过对这一节课的学习，学生应该对不等关系有较为全面的认识：（1）掌握不等号、不等式、不等式组的概念；（2）会根据不等关系列出不等式（组）；（3）能用合理的不等关系解释不等式（组）。

三、基于单元知识结构的课时教学设计

1.问题情境，突出重点。

某市准备对一新修公路的两旁进行植树，在这一过程中，工人们遇到了这样一些问题。看看我们能不能用数学的方式来进行表示：

A.为了保证所栽种的树能够成活，栽种时的树围至少是4cm，树的高度应大于4m，小于5m，且树的种类应多于1种，少于4种；

B.为了保证树种采购的质量，市政府规定所采购的树种不合格数不超过20棵；

C.市政府对树种采购的预算至多5000元；

D.在采购的树种中，不满足上述要求的树种不多于10棵（这些树的树围都不足3cm）；

E.为了保证道路的美观和树的成长，树与树之间的间距应大于等于4m，小于等于6m；

F.最终，市政府采购了两类树种，两类树种的单价不相等。

问题：（1）请试着将问题情境中所涉及的不等关系的文字表述找出來，并进行归类，且将相应类别用数学符号加以表示；（2）请试着用数学的方式改写上述的文字表述。

（设计意图：首先，对于初中生来说，用文字表达不等关系并不陌生，但困难在于学生没有对所遇到的这些不等关系进行归类，从而以更为简洁的方式认识现实生活中用以表达不等关系的庞杂的文字表述；其次，学生只有在文字表述、数学语言以及后面要学习的图形语言之间建立联系，才能更好地帮助学生用不等式来表达和解决其所遇到的现实或数学问题；最后，文字表述与数学语言之间的对照，能促使学生深刻地感受到数学语言的优势，从而让学生体会到数学能对复杂的现实世界进行符号化，进而在其所创造的符号世界中对现实世界进行模型化思考。）

2.提出问题，引发思考。

（1）请找出问题情境中有关不等关系的文字表述；（2）想一想，這些表示不等关系的文字表述可以分成几类；（3）在数学上，是否有相应的符号与你的分类相对应，试着将文字表述与数学符号一一对应。除此之外，还有哪些文字表述也可用来表示相应的不等关系。

（设计意图：这一连串的问题旨在引导学生把问题情境中的有效信息提取出来，并理解同一不等关系可有多种文字表述形式，进而用数学的语言理解并表示出来。）

首先，通过文字的字面含义可将其归为五个类别。（可参见图2）

其次，通过文字表述，找到相应的数学符号来表示。

最后，根据学生的回答补充“正数”“非负数”“不少于”“超过”“落后于”等文字表述，进而形成图3。

3.合作探究，达成共识。

结合不等关系的符号语言，试着用数学关系式来表示以上问题情景中的文字表述。

首先，需设未知数表示文字表述中涉及不等关系的量；其次，找出不等关系；最后，用数学关系式来表示不等关系。

观察由上述问题得到的关系式，相对等式来说它们有什么特点？

（设计意图：本环节旨在使学生通过关系式转写文字表述中不等式的含义，且理解实际问题中所包含的不等关系。）

4.应用反馈，拓展提升。

深化情境：最终，市政府采购了两类树种，其中一类树种的树围是4cm，以后每10年增加约12cm，经过x年后这类树的树围不少于30cm；另一类树栽种时的树围是6cm，以后10年内每年增加约3cm，经过x年后这类树的树围将超过30cm。

问题：（1）你能找出其中的不等关系吗？（2）怎么用数学语言表示这里的不等关系？

此外，课后可以布置以下几道题目作为家庭作业：

下列问题中的数量关系应该用怎样的式子来表示？

现实问题：①图4是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过40km/h。怎样表示v（km/h）与40之间的关系？②天气的能见度s至少需要10公里，怎样表示s和10之间的关系？

数学问题：①写出Rt△ABC中有关边、角的不等关系；②要使代数式 有意义，x的值与3之间有什么关系？③一个三角形的三边长分别为1，2，x，则x的取值范围是多少？

实际应用：用甲乙两种原料配成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表所示：

①现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲原料的质量x（kg）应满足怎样的不等关系；

②如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x（kg）应满足的另一个不等关系吗？