变易理论与小学数学教学

吴春梅

摘 要：“变易理论”建基于“现象图析学”。“变易理论”关注学习内容、关键特征、意识结构和变易识别。在数学教学中援引变易理论，需要对学习内容进行深度耕犁，对学习方式进行深度研究，对高阶思维进行深度引导。运用变易思想进行教学，能让学生数学学习有效发生。

关键词：变易理论；变易哲学；数学教学

“变易理论”植根于“现象图析学”研究方式。20世纪90年代，现象图析学之父马飞龙教授与香港大学教育学院研究团队合作，让现象图析学逐渐成为一种“显学”。“现象图析学”不同于“现象学”，尽管它们都研究人的经验，但现象学的根本旨趣在于得出本质，而现象图析学则着眼于揭示人们经验现象方式的不同， 并用描述类别和结果空间来阐述这种不同。在现象图析学基础上产生了变易理论。变易理论又称变异理论。所谓“变易”，是指“当一个现象或者一个事物某个属性产生变化而同时其他属性保持不变， 变化的属性将被审辨到”。基于“变易理论”的学习关键是找出事物最显著差别，即是说， 学习关键是找出事物最显著的差别。

一、“变易理论”的内涵简介

“变易理论”将学习内容划分为具体方面与一般方面、内部视域与外部视域。变易理论关注学习内容动态变化，通过内容变易深化理解。“变易理论”探讨的是人怎样帮助他人学习。变易理论认为，学习源于系统重复与变化。变易理论基本观点是：为了认识某个事物，就必须注意到此事物与彼事物之不同。为了凸显此事物与彼事物之不同，就必须使此事物的某种属性在某个维度上发生变化。

1. 学习内容

“变易理论”里的“变”与“不变”指向学习内容。马飞龙认为，学习包含“怎么学（how）”和“学什么（what）”两个方面。“学什么”即学习内容，亦即最为直接、最为基本的学习目标。“怎么学”包括学生学习行为和学生要发展的某方面能力。“学什么”是学习内容直接目标，怎么学是学习内容间接目标。马飞龙教授认为，只有既聚焦于学习内容，同时配适合宜的方法，才能产生期望的学习结果，割裂二者必然导致失败。

2. 关键特征

相同学习情境，为什么有人会比别人学得好？在马飞龙看来，之所以学得好是因为他们在学习内容方面“聚焦并经历特定学习的某个关键之处”。比如，单独一个数字5就是一个无意义的纯粹符号，只有将5置于数系中，5才能显现出其序数意义和基数意义来。当5这个数字纳入运算之中，5这个符号所代表的意义就能凸显出来。为了让学生经历“特定学习关键之处”，教师应当充分创造“变易”，即“将现象或事物的某个属性保持变化而其他属性同时保持不变”。唯其如此，关键特征才能被审辨到。

3. 意识结构

所谓“意识结构”，即个体在经验时，存在质的差异的理解方式。变易理论认为，知识具有文化性、境域性、价值性。知识与文化体系中的价值观念、生活方式、语言符号乃至人生信仰等意识结构密不可分。这启示我们，数学教学必须注重情境，注重知识境脉意义。比如抽象的“一亿有多大”，学生并不能感受到其意义。但是当我们将“一亿”放置于情境之中，就能唤醒学生的惊异感，形成学生对“一亿”的陌生化眼光。“一张A4纸的厚度很薄，而一亿张A4纸堆积的高度竟然比珠穆朗玛峰还高”“一枚1元硬币大约重6克，一亿枚1元硬币重600吨，需要120辆5吨载重量的卡车来运”等。这样的知识，有助于丰富、改变、完善学生的意识结构。

4. 变易识别

马飞龙指出，当某个现象或事物的一个方面发生变化，而另一方面保持不变时，变化方面就会被识别出来。学习素数时，不仅要将素数与合数放在一起进行比较，更要将素数、合数、奇数、偶数等放在一起让学生识别。识别有两种方式：一是将某个事物的属性识别出来，同时将变易属性也识别出来，如学习“素数与合数”，必须让学生进行因数分类，从中抽离出“素数”“合数”“既不是素数也不是合数的数”的数；二是将某个事物作为整体从一个情境中识别出来，同时也将这个事物的部分从其他部分和整体中识别出来。如素数合数的关键特征是因数个数，而奇数偶数的属性即“是否是2的倍数”。

二、“变易理论”引领下的数学教学

马飞龙等人认为，变易图式可以带出四种功能： 对照、类合、区分及融合。根据四种功能，在数学教学中，教师要引导学生在比照中获得对数学知识的直观感受，让学生把握知识的关键特征，让学生关注事物变化中之不变特征，让学生保持知识几个方面的关键特征同步变化。“变易理论”强调知识无关、重要和关键特征，这在某种程度上类似于科学实验中的自变量、因变量和无关变量。

1. 对学习内容的深度耕犁

通常情况下，教学总是被理解为简单讲解教材知识点，有教师为赶进度，甚至对知识“掐头去尾烧中段”，由此导致学生与数学疏离。变易理论认为，教学首先需要学生对学习内容进行深度耕犁。教师要深度思考的问题是：一个数学概念如何呈现才能让学生领会？一个数学概念需要哪些例子才能完整展示其内涵？学生在学习数学概念时需要经历怎样的思维历程？一个数学公式需几个步骤推导才符合学生认知水平？

教学《认识方程》，教师绝不仅仅是简单出示定义，让学生借助定义进行判断，而是需要有层次地揭示出知识本质。如教师可以出示一组式子（注：這组式子中有等式，有不等式，有式子，有含有未知数的等式，有含有未知数的不等式，有含有未知数的式子），提炼出“方程”。在这个过程中，学生不仅要展开正向思考，更要展开逆向思考，突出“方程是含有未知数的等式”的意义。为了增进变易教学之效果，教师可以将正例、反例、无关例子等一并呈现，这样有助于学生归谬激正，突出知识关键特征。变易理论不仅是一题多解、一题多变，也不仅是组织材料策略，更是一种教学思想。通过变易教学、达成不易知识、形成简易学法（易学、易用、易创）的数学课程。

变易理论与巴班斯基的最优化教学理论无关，与维果茨基最近发展区理论无涉。运用变式理论要加强课前研判、课中观察、课后跟踪。同时，要引导学生构建知识导图，以引导学生进行自主检测，帮助学生形成学习策略，提高学生元认知意识和技能。

2. 对学习方式的深度研究

从根本上说，将变易理论引入数学教学，要加强对学生学习方式的研究。比较变式教学，变易理论更上位。一方面，变易理论为变式教学提供了认识论基础；另一方面，变式教学为变易理论提供了精细化操作策略体系。从这个意义上说，变易理论是一种思想。在变易思想的统御下，教学开始由粗放走向集约、精细，这是一种深层次扎根研究。

张奠宙等专家认为，“易”是中国哲学的标识。将变易思想引入数学教学，可以通过变化概念、图式、语义等方式。比如一位教师教学“三角形的高”，运用多种变易方式，让学生掌握垂直关键特征。首先，教师认为如果出示标准图形高，尽管学生容易抽象出高的特征，即垂直，但学生也容易受无关特征、非本质特征影响。基于此，教师出示了不同大小、不同方向的锐角三角形高。学生通过图形变易，认识到不管线段方向、位置如何，只要是从三角形顶点到对边的垂直线段就是高。然后，教师认为，这样的高还仅仅局限于锐角三角形，高的位置全部在三角形的内部。基于此，教师又出示了直角三角形、钝角三角形的高。至此，学生认识到三角形的高不仅可以在图形之内，也可能在图形之上、之外。不管线段位置、方向、形状如何，只要是从三角形顶点到对边的垂直线段就是高。

变易理论课堂教学研究是一种深层次的扎根研究。迁移理论认为，教师可以从单一事例或者众多相似的事例中归纳、分离出本质属性。因此需要大量的练习，熟能生巧、精讲多练是这种教学的经典话语。在变易教学中，教师要善变，进而让教学聚焦于数学知识的关键特征，从而让学生理解、掌握数学知识。

3. 对高阶思维深度引导

学生数学学习的目的是获得思维提升。教师要运用变易思想引导、激发、调动学生思维。学生的高阶思维涉及联想、直觉、创造想象、比较、归纳推理等。变易理论认为，没有变易就没有学习，学习就是对知识属性进行审辩，只有当关键属性与其他属性在变易中形成比照，学生才能形成高阶思维。

如“运算律”一课，教师可以引导学生进行变易猜想、联想。在教学加法交换律时，教师可以引发学生联想：加减乘除四则运算是否都有交换律？通过举例（包括正例和反例）不完全归纳出减法和除法的猜想与实际例证不符。在此基础上，引导学生继续进行变易联想：在三个数、四个数和五个数中，交换律是否仍然成立。如此，不仅进行纵向变易联想，而且进行横向变易联想。不仅如此，教师还可以激发学生进行纵横向的整体变易联想，不断引导学生进行猜想、验证、结论与运用的过程。这样的教学，从整体、变易的视角让学生逐步发展起数学高阶思维。

马飞龙指出，教师要尽可能通过必要的“变与不变”范式来帮助学生识别知识的关键属性、属性关系及属性与整体关系。发展学生高阶思维，需要教师从多個层面、向度予以变易，如内容、方式、教学工具变易等。

变易理论从现象图析学视角出发，强调教师在“变”与“不变”中突出现象或事物在某个方面的关键特征。变易理论视野下的数学教学有助于丰富学生的“学”。作为教师，要审视数学本体性知识，了解学生学习困难。从核心问题——学习内容出发，根据学生学习数学的心理规律，运用变易思想进行教学，从而让学生数学学习有效发生。