函数单调性教学的四大要素

颜军

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度.

在函数单调性的教学中关键要把握住以下的四大要素.

一、学生学习单调性的认知基础是什么

学生在学习单调性之前，已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的定义以及函数的表示.在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质.

函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图像出发，直观感知函数的单调性.

在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：

问题1分别做出函数y=x+2，y=-x+2，y=x2以及y=1x的图像，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

在学生画图的基础上，引导学生观察图像，获得信息：第一个图像从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图像从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.

而后两个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.

对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性，则能更好地理解和掌握概念，因此，我设计了问题2.

问题2能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？

教学中，我引导学生用自己的语言描述增函数的定义：

如果函数f（x）在某个区间上的图像从左向右逐渐上升，或者如果函数f（x）在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f（x）在该区间上为增函数.

然后让学生类比描述减函数的定义.至此，学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识.

二、为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念

对函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化.学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y减小是减函数.这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强.其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证.

三、如何利用形式化的语言定義函数的单调性

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图像的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行.后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成.这其中有两个难点：

1.“x增大”如何用符号表示；同样，“f（x）增大”如何用符号表示.

2.“‘随着x增大，函数f（x）‘也增大”，如何用符号表示.

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象.

问题如何从解析式的角度说明f（x）=x2在[0，+∞）上为增函数？

在教学中，我组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈，评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.

教学中，我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念，对定义中关键的地方进行强调.

① 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

② 有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）.

③ 函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数.

四、如何规范用定义法证明函数单调性的解题步骤

对函数单调性的证明，由于前边有对函数f（x）=x2在[0，+∞）上为增函数的研究作铺垫，大部分学生能完成取值和求差两个步骤：

因此，学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面：一方面，部分学生不知道如何变形，不敢动笔；另一方面，部分学生在变形不彻底，理由不充分的情形下就下结论.

针对这两方面的问题，教学中，我组织学生讨论，引导学生回顾函数f（x）=x2在[0，+∞）上为增函数的说明过程，明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发，考虑分组分解法，即把形式相同的项分在一起，变形后容易找到公因式（x1-x2），提取后即可考虑判断符号.

在上面分析的基础上，我对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯.