朱婉华
【关键词】善捕;“错误资源”;利用
在教学过程中,教师、学生根据自身已有的知识,经验与理解水平尝试探索和解决问题时,肯定会出现偏差或失误,这些都是动态生成的课堂资源,作为教师应具有强烈的资源意识,善于抓住教育契机,能机智巧妙地加以研究、开发和利用,使之成为宝贵的教学资源,将学生从错误中解脱出来,实现教学相长,实现教师由课程实施中的执行者向课程的建设者和开发者转变.现在就此谈谈本人在初中数学教学过程中对“错误资源”的利用.
一、引进“错误”素材,探究错误成因,拓展学生思维
在教学过程中,教师要善于捕捉学生认知过程中的错误,使之成为宝贵的教学素材,暴露错误的过程,不能认为纠正了错误就达到了目的,应引导学生进一步反思错误的成因,剖析错误思想的来龙去脉,挖掘背后隐藏的价值从而完善数学知识结构,拓展思维领域.
例如,2003年某市中考试题:已知实数a,b满足条件2a2+a-1=0,2b2+b-1=0,则1a+1b的值为().
A.-2
B.1
C.-12
D.4
细心探究,此题若是单选题则是一道错题,无正确选项.我将此题布置给学生,发现许多学生选B,当我宣布没有正确选项时,教室里一片哗然,学生们都投来怀疑的目光,于是我首先让学生暴露出自己的错误解法:
把a,b看作一元二次方程2x2+x-1=0的两根,由根与系数关系:a+b=-12,ab=-12,∴1a+1b=a+bab=1,故选B.
通过与学生的讨论交流,找到了错因,题干中没有明确a,b的关系,应分情况讨论.
1.若a≠b时,就是同学们的解答.
2.若a=b时,解方程2x2+x-1=0得x1=12,x2=-1.
(1)当a=b=12时,1a+1b=4;(2)当a=b=-1时,1a+1b=-2.
综上,1a+1b的值为1或4或-2.
由此进行方法归纳,完善学生的知识结构:1.考虑问题尽量周全,分类讨论做到不重不漏;2.构造法是解决数学问题的常用方法,构造一元二次方程的依据为方程根的定义(如上题)或根与系数的关系(以x1,x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0);3.熟练选择适当方法解一元二次方程的同时灵活运用根与系数的关系,求相关代数式的值会收到事半功倍的效果.
二、设“疑”引“错”,激发学生的求知欲望,大胆质疑,培养学生的批判精神
某同学在一本练习册中发现下面的一道选择题:Rt△ABC的面积为5 cm2,斜边c为4 cm,则tanA+tanB的值为().
A.85
B.165
C.58
D.无解
某同学的解答是:
在Rt△ABC中,tanA=ab,tanB=ba,
∴tanA+tanB=ab+ba=a2+b2ab.
而12ab=5,∴ab=10.
又c=4,∴a2+b2=c2=16,∴tanA+tanB=1610=85,
故选A.
可答案是D无解,为什么呢?
我将这一问题放到数学课堂上,引发了学生的大讨论,同学们认为某同学解答过程没有错,那么问题出在哪里呢?通过设“疑”引“错”,引发认知冲突,从而激起学生强烈的探索愿望和学习兴致,在这一节课堂上充分体现学生的主体性,为学生提供了平等交流的平台,鼓励学生大胆质疑,耐心引导学生敢用批判的视角看问题,敢于提出异议,发表自己独到的见解.通过教师循循善诱的引导和同学们的讨论,最后同学中出现了三种不同的解法思路.
思路一由题意,得12ab=5,①
a2+b2=16.②
由①得2ab=20.③
②+③得(a+b)2=36.
∵a+b>0,∴a+b=6.
②-③得(a-b)2=-4不成立,∴故选D.
思路二如图所示,作CD⊥AB于D,由题意得12×4·CD=5,∴CD=52.
设AD=x,则BD=4-x.
由△CAD∽△BCD得CD2=AD·BD,
即522=x(4-x),
整理得x2-4x+254=0.
∵Δ=(-4)2-4×254=-9<0,
此方程无解,故选D.
思路三已知线段AB=4 cm,以AB为直径作半圆,C为半圆上一动点(点C不与A,B重合)连接AC,BC,则∠BCA=90°,过点C作CD⊥AB于D(如图所示),观察图形知:当点D与圆心重合时,CD最大为半径长,此时△ABC的面积最大是12AB·CD=12×4×2=4 cm2.
由此可見,原题中给定面积为5 cm2是不符合实际的,所以“无解”才是应选的答案.
为了进一步增强学生的自信心,我还鼓励学生之间找差错,如,题目“一组对边相等,一组对角相等的四边形是否一定是平行四边形?如果一定是,请给出证明,如果不一定是,请举出反例”.
部分学生认为一定是平行四边形,并给出了“证明”,部分学生的答案“不一定”,举出的反例各色各样,其中一名学生的反例很特别:
(如图所示)在等腰△ABC的底边BC上任意找一点D,(D不是中点),连接AD,把△ACD沿AD翻折得△AC′D,此时四边形ACDC′符合“一组对边相等,一组对角相等”,但不是平行四边形.学生们据理力争,以“理”服人,也能找到给出的“证明”问题的要害,见此情境,没有哪个做教师的不感到欣慰!学生们在争论中理清了思路,辨明是非.在整个教学过程中,教师要以坦荡的态度对待学生的观点,给学生一个表达的机会,鼓励学生不盲从,大胆质疑,引导学生在质疑
中生成知识和能力,从而增强学生的自信心,培养学生勇于批判的创新精神.
三、善于收集,整理、交流错误,编制“错误集”,提高判别能力
认知过程中的错误,通常不能一次性得以解决,教师要指导学生养成收集、整理、交流错误的习惯,善于从课堂练习、作业、单元测验、期中、期末考试等方面,收集引起错误的例子、标明错解的分析过程,主要包括:1.为什么出错,主要原因是什么?2.如何纠正?错误中可否有合理成分?3.可否变通、延伸?将它们收藏到“错误集”中,并不定期地调出来温故,善于定期地整理、归纳错误,在小单元、章节、期中、期末的复习中,将“错误集”进行对比、评价、分类,按知识的系统化、典型的、具有代表性的题进行总结与归纳,从而整理成条理性较强、结构性好的“错误集”.善于与人交流分享“错误集”,交流收集、归纳错误的心得,集众人之长,提高效率,通过积累错误,总结错误,交流错误,训练了学生思维的条理性,克服了思维混乱现象,从而提高学生的判别能力.
总之,学生在学习过程中由于本身的认知水平的限制,出现学习障碍或解题错误,是不可避免的,教师要善待学生的错误,营造一个宽容的环境,引导学生珍惜“错误”,正视“错误”,理解“错误”,利用“错误”,从而完善知识结构,减少错误,增强学习自信心,激发学习兴趣,培养归纳整理能力和坚忍不拔的学习毅力.