设问—碰撞—提炼，积累数学思维经验——以一节几何复习课为例

张万梅

（广东省中山市黄圃镇中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在传统“双基”基础上，新增了基本活动经验和基本思想，即提出了“四基”.根据《标准》的要求，学生通过数学学习不仅要获得必需的知识和技能，还要在学习过程中积累经验，获得数学思想和解决问题的能力.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.

在实际教学中，一提到数学活动经验或数学活动，经常被认为是让课堂热闹起来、让学生操作起来.所以，教师开设公开课喜欢讲授新课，特别是在一些探究课中，让学生动手操作，认为这才能体现基本活动经验.数学基本活动经验包括思维的经验和实践的经验，任何活动经验最后都必须促成思维的发展.数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中沉淀，是在学习活动中逐步积累的.复习课在数学教学中占了不小的比例，如何让复习课从广度和深度上达成目标？如何让复习课更好地成为积累数学基本活动经验的土壤？笔者以培养初中学生逻辑能力的起始章“相交线与平行线”的一节复习课为例，谈谈自己的课堂实践.在复习“相交线与平行线”的第2课时，设定的教学目标是复习平行线的判定和性质，灵活应用平行线的性质，让学生进一步体会数形结合和转化的数学思想，培养学生的逻辑推理和演绎推理的思维能力.

一、巧设问，提供思维空间

问题1：如图1，要说明AB∥CD，需要什么条件？试把所有可能的情况写出来，并说明理由.

图1

【设计意图】平行线的判定有以下几点：两条直线被第三条直线所截形成的同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.在这个问题中，找出截线很重要，直线AB和CD的截线有三条，考虑不同的截线，观察不同位置关系的角，可以得到不同的条件.问题1需要学生分情况考虑、全面观察，发现各种位置关系的角，通过复习平行线的三种判定方法，积累分类讨论思想，巩固判定依据的说理.

问题2：如图2，已知AB∥CD，试说明∠B，∠D与∠BPD的关系.

图2

【设计意图】解决这个问题需要建立两平行线的联系，需要知道第三条直线即截线.问题2中没有给出已知的明显的截线，需要作辅助线.由于两平行线间有两条折线，建立截线的方法就有很多种，巩固学生对平行线的传递性、性质和三角形内角和知识的掌握，培养学生的演绎推理及论证表述能力.

问题3：如图3，已知AB∥CD，∠ABF=∠DCE.试说明∠BFE=∠FEC.

图3

【设计意图】问题3是对问题2的变式和拓展.两平行线间有两个转折角，需要学生用到解决图2的基本图形的思想方法，可以再构造出两条平行线，也可以延长折线构成截线，也可以直接加截线建立两平行线的联系.此题需要学生具有较强的几何直观和对已学知识的综合运用能力.设置此题意在发展学生的发散思维和较强的对基本图形的把握能力.

二、说思路，产生思维碰撞

教学片断1：问题1采用的是学生轮流回答的方式教学.

生1：可以是∠FEC=∠FAB.

师：依据是什么？

生1：它们是同位角.同位角相等，两直线平行.

师：截线是哪一条？

生1：它们被AF所截.

师：好，下一位同学.

生2：可以是∠DEA=∠FAB，因为它们是内错角.内错角相等，两直线平行.

生3：可以是∠D+∠DAB=180°，因为它们是直线AB和CD被直线AD所截的同旁内角.同旁内角互补，两直线平行.

师：非常好！表达得很完整.下一位同学，还有其他情况吗？

生4：当∠FCE=∠FBA时，AB∥CD.因为同位角相等，两直线平行，截线是FB.

生5：当∠DCB+∠B=180°时，AB∥CD.因为同旁内角互补，两直线平行.

师：很好，已经五种情况了，还有吗？

生6：∠CEA+∠EAB=180°也可以说明AB∥CD.因为它们是直线AB和CD被AF所截的同旁内角.

师：所以直线AB和CD被AF所截时，同位角、内错角、同旁内角都有形成，三种情况都可以.还有其他情况吗？

生7：还有很多.如∠D=∠ECF，很明显它们是内错角.

生：它们得出的平行线不是需要判定的两条直线.

生7：哦，我看看，那就没有了.

师：所以当图形不止出现三条直线时，判定平行线需要确定好截线，看清楚是否是我们要判定的两条直线.

教学后记：对于平行线的性质和判定，当只有三条直线时，同位角、内错角、同旁内角很容易识别出来，两条平行线也能一下“看”出来.但当图形出现不止三条线，需要对平行线进行判定时，要明确所要判定的两直线和截线，再去发现基本图形.课堂教学时，在提问环节课堂气氛比较紧张，因为越往后进行，可回答的情况越少，学生需要对已出现的情况进行识别和排除，再去补充不同的选择.又因为问题设置难度不大，是学生比较熟悉的，所以学生对基本图形的识别较容易.从图形上看还有平行线AD和BF，给部分学生造成一定的迷惑，也在学生思维上产生了一定的冲击.在这个过程中，学生的思维活动非常激烈，不断识别和排除、自我否定和重新建构.

教学片断2：问题2采用的是全体学生对问题进行演绎推理，书写完整过程，再投影分析不同的解答.下面是学生出现的几种解答方法.

解：（方法1）如图4，过点P作AB的平行线EF，

因为AB∥CD，AB∥EF，

所以EF∥CD.

所以∠B=∠1，∠D=∠2.

所以∠B+∠D=∠1+∠2=∠BPD.

图4

图5

（方法2）如图5，延长DP交AB于点E，

因为AB∥CD，

所以∠D=∠1.

所以∠B+∠1=∠2.

所以∠2=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

（方法3）如图6，过点P作CD的垂线，交AB于点E，交CD于点F，

因为AB∥CD，EF⊥CD，

所以AB⊥EF.

所以∠BEP=∠PFD=90°.

所以∠B+∠1=∠2+∠D=90°.

改革实施后发现学生参与设计的热情高、进度快，设计报告整体上更加规范、完整，由于参与度高学生们基本都写出了较为深刻的心得体会，杜绝了雷同报告，由于细化了平时成绩的考核，组员间的成绩区分度好，体现了评价指标中的差异性。教学实践表明：这种“以学生为中心”的教学模式，结合任务型教学和讨论法相结合的教学方式，以及关注过程管理的综合成绩评定方法提高了学生的学习积极性和参与度，形成了良好的互助互学的学习氛围，在学生巩固专业知识的基础上，提高了学生的工程实践能力。

所以∠B+∠1+∠2+∠D=180°.

又因为∠1+∠2+∠3=180°.

所以∠3=∠B+∠D，即∠BPD=∠B+∠D.

图6

图7

（方法4）如图7，连接BD，

因为AB∥CD，

所以∠ABD+∠BDC=180°，

即∠3+∠1+∠2+∠4=180°.

又因为∠1+∠2+∠P=180°，

所以∠3+∠4=∠P.

教学后记：对于平行线中转折角问题的处理，大部分学生易于接受方法1，即在转折点处添加平行线，从而构造出特殊位置的角，为解决问题搭桥铺路.在演绎推理的过程中，对学生的能力要求较高，一是作辅助线的表达，如过点P作AB的平行线EF或过点P作直线EF∥AB，要求非常简洁而准确、科学的表达，使学生对图形语言和文字语言、符号语言的相互转换经验得到加强和积累；二是图形“告诉”的并非全部，所作的辅助线EF是与AB平行，但EF与CD也平行是需要通过平行的传递性来证明的，也是部分学生经常漏掉的步骤，所以这里再次考查积累数学逻辑严谨的思维经验.对图形信息能够综合分析处理的学生乐于尝试其他的方法，他们对几何图形的性质非常熟悉，能够灵活转换，发散思维得到训练.

教学片断3：问题3是让学生代表做思路点拨，再由其他学生简述推理过程.一开始学生独立思考，最先出现的思路是如下几种.

思路1（如图8）是利用平行线的传递性将已知平行线联系起来，与图4类似；思路2（如图9）与思路3（如图10）都是延长两平行线间的折线将截线显性化，与图5类似；思路4（如图11）是利用特殊点建立新的截线，与图7类似.在学生分析这几种思路后，有学生提出了思路5（如图12），辅助线与图6相同，但在具体推理过程中又出现不同的思维，有的用三角形内角和及平角的定义，有的用三角形内角和得出角相等，继而转化为同位角相等.当教师在课堂指出“刚才的全部方法都是利用两平行线间的特殊线或点作出平行线或截线”，马上有学生发出这样的疑问“在不是特殊位置作的截线可不可以呢？”然后由其中一位学生在黑板画图，得出思路6（如图13），其他学生通过观察分析，发现也可以利用三角形内角和得出角相等，通过对顶角等量代换，得出BF与CE平行，再由内错角相等得证.

图8

图9

图10

图11

图12

图13

教学后记：思路1是大部分学生的第一思路，也是“转折角”问题的一种基本转化方法，思路2的出现最让学生折服，原来可以转化得这么便捷.当讨论到思路6时，学生好像恍然大悟般：原来只要一条截线将两平行线和BF，FE，EC都联系起来，可以运用平行线的性质和判定、三角形内角和等知识进行转化，得出结论.有的学生开始发出感叹：原来几何证明这么好玩！每想出一种新的思路就很有成就感.七年级学生在这一章要求会进行说理和简单推理，分析完问题3后，学生对于本章的对顶角、邻补角、垂线、平行线的判定和性质，以及小学已知的三角形内角和为180°进行了灵活的运用，对图形语言和数学语言进行了一次深度的解读和转换.下课后，有几位学生拿着其他不同的思路与教师讨论，可见，学生对几何图形的研究兴趣已建立，学生的逻辑思维经验得到积累和发展.

三、重小结，提炼思维经验

1.重视教师的归纳总结

数学活动经验的积累是一个循序渐进、层层递进的过程，思维经验只有在学生真正参与、经历知识形成的过程中才能不断积累.学生在活动中获得的经验，起初往往是模糊、零散的，并且不易被学生直接感受到，所以这就需要教师帮助学生将学习过程中习得的这些模糊、零散的经验清晰化、条理化、系统化，并因此留在大脑中.教学中对学生获得的经验、形成的表象要进行分析归纳、深化应用，形成抽象化意义的统一认识，即形成思维经验.教学中借助学生在新知学习过程对平行线的判定和性质、对顶角相等、三角形内角和为180°等知识的学习经历，在复习综合运用时，通过师生、生生之间的交流，将初步的感悟上升到新的高度，共同总结出平行线问题的解决关键是找到平行线间的联系点.在问题逐层解决过程中提升学生对平行线的性质和判定的认识，让学生在总结概括中提高思维水平.

2.重视学生的反思小结

弗赖登塔尔认为，反思是一种重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力.当学生的数学活动经验积累到一定程度后，教师应引导学生在回顾知识的基础上进行深度反思.所以在课堂教学中，教师对知识进行归纳强化后，要注意引导学生进行评价反思，对数学活动经验进行提炼、总结、提升，使之成为经验并加以推广.在此过程中，提升学生的数学学习方法，促使学生养成反思、体验的习惯，发展思维经验.思维经验也是一种感悟和体验，在本节课的课堂教学中，教师让学生说出每个问题解决后的感悟.例如，对问题1，有学生说“找平行的条件，一定要先明确是说明哪两条直线平行”，针对问题2有学生说“要用平行线的性质就要先找到或者建立第三条直线”，针对问题3有学生说“解决几何问题，可以先考虑特殊位置、特殊点，辅助线的建立可以是特殊的，有时也可以一般化”.当学生在述说自己的感悟时，思维经验就已经得到了稳固的提升.

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