立足“四个知道”，构建生成式数学课堂

刘之兵，杨正义

（四川省资中县第二中学；四川省资中县教育局教研室）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）根据数学具有过程和结果的双重性特征，倡导数学教学要统筹兼顾过程与结果，以全面发挥数学的育人功能.但经过大量的课堂观察发现，当前数学教学中重结果轻过程、重过程轻本质、重过程轻主体的现象在一定程度和范围内还普遍存在，这与新课程改革步入深水区的步伐严重相悖，究其原因主要是过程教育的操作方法综合性强、弹性大、要求高，稍有不慎，结果是费时费力，达不到理想的教学效果.笔者认为还是要发动学生，实事求是，不断创新.为此，我们选取平时观评课中的一些片断，探讨“四个知道”，即学生已经知道了什么、学生能知道什么、学生想知道什么、学生要知道什么，以此来构建生成式数学课堂.

一、学生已经知道了什么

影响学习的唯一重要的因素就是学习者已经知道了什么.事实上，对于学生，我们知道的太少.我们以为是问题情境的东西已经不是问题，有时候学生已经明白了，我们还在试图把他们拉到既定的轨道上，如此尴尬的事都屡屡发生.因此，人们更愿意把学生当成接收知识的容器，并把教材作为教学的根本逻辑开展教学，这样做省时又省力.这样的教学，以教为主，以学为辅，重教轻学，是“以教为本”的教学.

奥苏贝尔说过，如果我必须将教育心理学的全部原理归结为一句话，那么我将会说，影响学生学习最重要的一个因素乃是学生已经知道的东西，肯定这一点并据此教学.因此，回避学生并非良策，我们的教学活动，应当促进师生的共同发展，践行“以人为本”的教学.

要想了解学生已经知道的东西，并非束手无策，以下的途径都是教学中常用的方法：课前的作业批改；教师已有的教学经验；教学活动中学生的及时反馈；教学巡视；课后与学生谈话，等等.

案例1：七年级比例式中引入参数求代数式的值教学片断.

例已知，试求代数式的值.

结果反馈：教师讲解后，仍有相当一部分学生根本不会，一部分学生写出了如下解答.

由已知设x=2，y=3，z=5，则

教学讨论：上述学生的解答恰好说明学生已经知道的意思，会直接用代入法求代数式的值，不会的是用引入参数的方法代入求值.

事实上，七年级学生正处于具体运算向形式运算过渡的阶段，学生学习求代数式的值大体要经历：代入具体数求代数式的值—整体代入求代数式的值—代入参数求代数式的值，而引入参数求代数式的值正好是最高的层次.

上述的解题教学中，教师忽视了对学生的已有经验、认知水平和学习积极性的调动，置学生于接受和理解的位置，而不是积极主动的意义建构和方法创造，忽视了变量思想、消元思想和函数思想的渗透，自然教学效果不佳.

针对此题，基于方法生成的教学片断如下.

问题：同学们知道，在中，x=2，y=3，z=5是可以符合题意的，从而采用直接代入法求出了结果.那么x，y，z还可以为其他的值吗？若等于其他的值，代入结果会变吗？

师生活动：此时学生代入如x=4，y=6，z=10后，发现结果不变.比较4，6，10与2，3，5，也就是将各数放大了2倍后结果不变.学生发现若把x，y，z同时缩小，如x=1，，代入后结果也不变.

追问：将x，y，z放大或缩小后的数永远也举不完呀！怎么办呢？同学们思考后交流.

师生活动：学生小组讨论后，认为可以用一个新的字母，如k来代表放大或缩小的倍数，也就是x=2k，y=3k，z=5k，其中k≠0，再代入求值.这样，x，y，z就用一个字母k表达清楚了，完美的说明x，y，z可以取的所有允许的结果.下面师生一起写出解答过程，略.

二、学生能知道什么

“学生能知道什么”是“学生已经知道了什么”的延伸，是教师面对具体教学任务，基于对学生的知识基础、思维能力和认知风格对教学任务影响进行预判，是对教学难点的分析和思考.只有分析清楚了学生能知道什么，才能确定在学生的现有水平和发展水平之间“垫几块石头”及这些“石头”之间的距离.

“学生能知道什么”从根本上讲是对学生主体性的确立，只有尊重、承认学生的主体性，学生心灵的自由发展才有逻辑的前提；只有想方设法促进学生的主体性，学生的发展才有自在的、可持续的保障，教学活动才可能真正体现出教育的功能.

“学生能知道什么”的核心是分析新、旧知识的内在联系，新知识与学生认知结构的联系.新知识与学生所掌握的知识、方法具有必然的逻辑联系，这就需要将新知识及其组成元素与学生已知的知识、方法比对，比对的结果反映的是需知与已知之间关联性的量度，这就是关联度.关联度由新知识的组成元素的结构与已知的知识、方法的结构的一致性决定.结构的一致性比对依赖于学生的认知结构，学生的认知结构越丰富、稳定，越容易进行结构一致性比对.一致性越高，关联度越高.面对关联度低的新知识教学，就必须采取有效的手段，从内容和方法两个角度着手设计适当的问题缩小差异，提高关联度，让学生拾级而上，自觉生成新知识.

同时，还要挖掘新知识承载的数学思想和蕴含的数学精神.只有在学生掌握数学知识的基础上继续进行提升，才能提高学生的智慧水平，实现数学的育人功能.

案例2：同类项教学片断.

常规教学思路是在完成了什么是同类项的概念的教学后，教师从正例为主、反例为辅两个方面组织学生进行判别同类项的变式练习.

教学讨论：这样教学是对同类项概念外延的全面考虑，层层递进，正反结合，有利于学生进一步认识同类项.但从学生的“学”的角度来看，总觉得对同类项的本质认识不够，也少了一点课堂生命的灵动和神韵.

基于代数概念本质生成的教学片断如下.

比一比：现有单项式3x2y，以同桌为单位，二人依次写一个与3x2y是同类项的单项式，谁写不出来谁就输.

思考：（1）在你们写出的单项式中，什么始终没有变？

（2）如果将3x2y换成3yx2，你们写出的单项式与3yx2，还是同类项吗？如果不能判断，想一想：什么是同类项？

（3）由刚才的比赛知道，同学们写出了3x2y的许多同类项，可不可以用一个模式来表示呢？

“□x2y”表示3x2y的同类项，方框□中可以是哪些数？所以3x2y的同类项有多少个？方框□中的数字不能是哪个数？

三、学生想知道什么

“学生想知道什么”是教师在课堂教学中对教学过程的实时监控，是对学生思维状态的即时把握，是对学生学习情绪的即时感知，是对学生学习需要的积极响应.随之，教师以最大的努力对教学进行调整，以契合学生的学习进程.显然，在这样的教学过程中，教与学高度协同、同生共长，而任何的“跑偏”也将引发教师的自我反思，促成师生的共同成长.

对“学生想知道什么”的思考基于以下认识.

（1）教学首先是一种实践活动.教学的实践性就是教学在其目的、形态、过程等方面所表现出来的对人、文化和自身的现实建构，具体改变或能动作用的规定性.教学的实践性源自文化的实践性，根本上源于人的实践性.

（2）教学是为了实现人与文化双重建构的师生之间的特殊交往活动.数学教学活动就是为了加速人类数学知识在现实的学生身上的文化生成，同时，这种文化生成活动也必将促进数学本身的发展.何以加速？依靠的是高质量的数学教学活动，它必须是课堂上师生的同在，师生发出信息的交换与融合，师想生所思，生想师所想，在思维的碰撞中完成数学知识的重构（文化的重构），对学生来说就是完成对数学知识的创造.

以上两点决定了教学是生成的，是教与学相依相存的、同在的朝向教学目标的连续演进.怎样了解、判断“学生想知道什么”是教师的必修课，应从教学理念置根，从教学设计入手，从课堂状态着眼.

《标准》指出，数学教学活动，特别是课堂教学，必须激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.这就是说教师的主要任务就是尊重学生，相信学生，依靠学生和发动学生.

精于设计、巧于应变才能让好的教学理念落地生根.这里很重要的一点是创设有价值的问题情境，其核心是引导学生通过系列问题深入数学学科的本质，超越对于技巧性问题的过度追求，克服对数学概念表面理解的现象，其标志是具有启发性、趣味性、适时、适度、适量和发展性.

课堂都是现场直播，瞬息万变.教师要用心去感知学生的课堂状态，用专业技能去判断学生的课堂状态，保持课堂的张力和学生的活力.

案例3：等边对等角教学片断.

常规教学：关于等边对等角的教学，华东师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册的设计如下.

如图1，（1）折叠等腰三角形半透明纸片，使两腰AB，AC重叠在一起；（2）观察、发现，并提出猜想∠B= ∠C；（3）作∠BAC的平分线AD证明 ∠B=∠C.

图1

教师一般采用这个教学设计进行教学，并引导学生探讨作底边上的中线和底边上的高线的证法.

教学讨论：这个设计让学生经历“操作感知—观察猜想—证明结论”的过程，并感受了同一个问题证明的多样性.

在实际教学中要防止学生“被经历”，缺乏真正的主体经历.就角平分线、中线、高线三种辅助线作法而言，你是怎样想到的呢？根在哪里呢？实际上追根溯源，在于折叠时怎样确定AD.在作辅助线时，教师应向学生提问：折叠△ABC时，你们是怎样确定AD的？除了对折∠BAC外，还有其他方式确定AD吗？学生经历了亲身操作后，这些问题是学生能想到的.

学生能想到的，未必是学生能做到的.在作底边上的高AD进行证明时，会遇到如下的问题，而且这个问题往往也被教师忽略.

如图2，作△ABC的底边BC上的高，怎么知道点D就在底边BC的内部（不含点B和点C）.

图2

事实上，这需要依次排除.当点D在点B处时，根据“垂线段最段”，AC＞AB，这与已知的AB=AC相矛盾；同理，当点D在点C处时，已知矛盾.

图3

如图3，当点D在BC的延长线上时，作BC的中垂线EH，点H为垂足，点E为与AB的交点，连接EC.易证△BEH≌△CEH.所以EC=EB.在△AEC中，AE+EC＞AC，又因为AB=AE+EB=AE+EC，所以AB＞AC.与已知AB=AC矛盾；同理，当点D在CB的延长上时，与已知矛盾.

综上所述，点D在底边BC的内部（不含点B和点C）.

这显然是学生想不到的，但问题已经提出来，学生一定会想：这可怎么办呢？这是可贵的求知欲，理当得到满足.这就让学生在感受同一个问题证明的多样性时，充分体会了不同证法导致的差异性，也很好地感受了数学的严谨性，受到了数学理性精神的洗礼.

根据上述讨论，基于定理生成的“等边对等角”的教学可做如下调整.

（1）折叠等腰三角形半透明纸片，使AB，AC重合；

（2）观察、发现，并提出猜想∠B=∠C；

（3）图中的AD，你是用什么方式得到的？由此，你想到了作什么样的辅助线？

（4）作∠BAC的平分线AD，并证明；

（5）探讨辅助线AD的其他作法，作底边上的中线的方法由学生自主完成，作底边上的高线的方法由教师引导质疑问难，培养学生的理性精神.

四、学生要知道什么

“学生要知道什么”是在“学生想知道什么”基础上的理性把握，是受教学目标的规定性限制的，主要指要达到的结果性目标，它是由《标准》规定的，需要教师深入研究《标准》和教材.作为非对称关系的两个主体之一的教师，就担当着对当下课堂教学所呈现内容的教学价值的确定，引领和激发潜在有价值的内容.

《标准》指出，教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流.这就要求教师按照《标准》要求，深挖数学本质，采取有效措施，发挥主导作用.这里的教师主导是外在的，内在的是学生已有知识水平与教学要求之间的矛盾，规定着教学的可能性质与进程.

在实际教学中容易出现的问题是：对教学内容的数学本质挖掘不够；对教学内容的处理随意性强，偏离教学目标；教学手段与教学内容适切性欠缺等.

案例4：三角形的中线、角平分线、高线的教学片断.

图4

常规教学：关于三角形的中线、角平分线、高线的教学，华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册的设计是：如图4，（1）借助图形直接描述概念；（2）三角形中三种特殊线段的条数说明；（3）在不同三角形中画三角形的中线、角平分线、高线.

教学讨论：显然，借助图形描述三角形的中线、角平分线、高线是为了降低学生理解概念的难度，并起到直观说明的作用，有利于学生理解概念的本质.

《标准》对三角形的三种特殊线段的要求是：理解三角形的中线、高线和角平分线.上述设计的不足是三种线段的关系不清楚，及学习这三种线段的必要性体现不够，所以不能很好地达成《标准》要求.

基于几何概念本质生成的教学片断如下.

教师运用几何画板软件演示如图5所示的图形运动变化过程.D是锐角三角形ABC的BC边上的一动点，连接AD.点D在BC边上移动的过程中，观察、思考如下问题.

图5

（1）BD，CD的长度变化了吗？∠BAD与∠DAC的大小变化了吗？∠ADB与∠ADC的大小变化吗？

（2）点D运动到边BC的什么位置时，BD=DC？这时，S△ABD与S△ADC有什么关系？

我们把这时的线段AD叫做△ABC的中线.

点D运动到什么位置时，∠BAD=∠CAD？这时将△ABC沿AD折叠，射线AB与AC会重合吗？

我们把这时的线段AD叫做△ABC的角平分线.

点D运动到什么位置时，∠ADB=∠ADC？∠ADC的度数为多少？这时，点A到BC边的距离怎么样？

我们把这时的线段AD叫做△ABC的高线.

……

五、结束语

在课堂教学中，有两根时间轴，一根是教师预设进度时间轴，它是教师主要根据教学经验主观确定的；另一根是由教学内容、教学目标、学生已有认知能力和经验、教师教学方法等要素确定的理论进度的时间轴，它是客观存在的，既具有规律性，又具有可变性和差异性.规律性是指这些要素一旦确定，完成和达到既定目标的时间和进度是基本确定的；可变性是指实际教学时，教师教的行为和学生学的行为都具有现实的主观能动性，特别是学生的思考回馈具有一定程度的不可预知性；差异性是指在班级授课制下学生的状况存在一定程度的个体差异.在实际教学中，普遍存在的现象是偏离理论进度的时间轴，为了完成教学任务而叠合预设进度的时间轴.

探讨“四个知道”就是要把握理论进度时间轴的关键节点，让预设进度时间轴尽可能叠合理论进度时间轴，这样的教学才能既重过程又重结果，既重过程更重本质生成，既重过程又彰显学习主体的生命活力.显然，这样的工作很有意义，但任重道远，让我们一起努力！