揭示问题本质 发展数学思维——从一类几何最值问题的变式教学研究谈起

黄悦军

（广东省深圳市龙岗区坪地中学）

变式教学是数学教学中常采用的方法.变式教学过程中对数学基本思想的渗透，可以促进学生思维结构和思维能力的提高，是一种思维训练的有力工具，有利于提升学生的数学核心素养.

一、问题提出

题目1如图1，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一个三角尺的直角顶点放在点M处，以点M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A，B.连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

图1

图2

解析：如图2，连接MO，易证得△MAO≌△MBQ（ASA）.从而有OA=BQ.因而△AOB的周长为OA+OB+AB=OQ+AB=4+AB.注意到△MAB是等腰直角三角形，易知当MB⊥OQ时，MB最短，AB最短.此时△AOB的周长为.

题目2如图3，E，F分别是边长为4的菱形ABCD中BC，CD边上的点，∠B=∠EAF=60°，探究：△AEF的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

图3

图4

解析：如图4，连接AC，易证得△ABE≌△ACF（ASA）.从而有AE=AF.因此△AEF为等边三角形.因而△AEF的周长为3AE.易知当AE⊥BC时，AE最短.此时△AEF的周长为6 3.

可以看出，在题目1中，三角板在绕点M旋转的过程中，有以下结论：①△MAB始终是等腰三角形；②△MAB与△MOQ相似；③四边形OAMB的面积始终保持不变，是△POQ面积的一半，因而当△MAB面积有最小值时，△AOB的面积有最大值.

在题目2中，将△AEF绕点A旋转，类似于题目1中的三个结论依旧成立.虽然题目背景改变，但是结论不变，在变与不变中展示了几何的魅力.对于题目1的解答，在证明OA+OB=4后，另一种方法是由勾股定理可知，利用OA（或者OB）表示AB的长，从二次函数的角度来考查线段AB的最值问题，但这种方法在题目2中不适用，不是一种通法.

题目1和题目2的条件简单，结论优美，具有典型性和拓展性，在结论和解决问题的方法上均高度一致.依据此特点，笔者对题目进行如下变式研究.

二、推广与变式

推广：如图5，直线l是线段AC的垂直平分线，点B是直线l上的一个动点（点B不在线段AC上），将△ABC绕点B旋转，使得BC与BA重合，点D，E是分别是线段A′A和线段AC上的动点，且始终保持∠DBE=∠ABC，试探究△DAE的周长和面积的最值情况.

图5

可以看出，对于题目1中的三个结论，在推广题目中依旧成立.特别地，当△ABC是等腰直角三角形时，推广问题即为题目1；当△ABC为等边三角形时，即为题目2的形式.原问题的推广抓住了数学本质，由特殊角到一般角，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想.

变式1：如图6，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是线段BC上的一点，∠ADE=75°，AD=AE，M，N分别是线段CD和线段DE上（不含端点）的任意两点，且AM=AN.

（1）求∠MAN的度数；

（2）若AD=2，求四边形AMDN的面积.

图6

图7

解析：（1）如图7，过点A作AG⊥DE于点G，易证得 Rt△ACM≌Rt△AGN. 因此 ∠CAM=∠GAN. 所以∠MAN=∠MAG+∠GAN=∠MAG+∠CAM=∠CAG=30°.

（2）由AD=2，易求得△ADE的面积为1.由问题推广的结论可知，四边形AMDN的面积等于△ADE的面积，故四边形AMDN的面积为1.

变式1是问题推广中△ABC的顶角为30°的情况.变式1中的条件AM=AN恰好是问题推广中的结论.将条件和结论互换，解决问题的方法不变.基于变式1第（1）小题的解决易知，四边形AMDN的面积为△ACD面积的两倍，若能求出△ACD的面积，即可知四边形AMDN的面积.但条件只给出了斜边AD的长，用含15°角的三角函数值不好求出面积，因而只能转化为求△ADE的面积.第（2）小题在解决方案的选择上，体现了转化、演绎推理等数学思想.

变式2：如图8，边长为3的等边三角形ODC的顶点O在坐标原点，点C在x轴正半轴上，F，G分别是边OC和边OD上任意两点，点E是△ODC的内心，连接GE，EF，∠GEF=120°.

图8

（1）连接GF，求△OGF周长的最小值；

（2）连接GF，求△OGF面积的最大值；

（3）在边OD和边OC上是否存在点P，使得以G，E，F，P四点为顶点的四边形构成菱形.若存在，试求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

解析：对于第（1）（2）小题，当GE⊥OD，EF⊥OC时，△OGF周长有最小值，其面积有最大值，即可得到结论.

对于第（3）小题，如图9，若点P在线段OC上，此时GE∥OC，延长GE交DC于点I，易证明此时OP=PF=FC.得点P的坐标为P(1，0).

图9

图10

如图10，若点P在线段OD上，此时EF∥OD，得OP=1，此时点P的坐标为.

在问题推广中，当∠BAC=30°时，即为此变式.变式2的第（1）小题和第（2）小题其实是在平面直角坐标系背景下对题目1和题目2的变式，解决问题的方法不变.第（3）小题的呈现方式体现了渐进性，充分利用题目1中得到的结论，引导学生在探索中思考解决问题的途径，提升学生的数学思维.

三、变式教学与数学思维发展

变式教学是指在教学过程中，对概念、性质、定理、公式，以及问题，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景等非本质特征进行变更，而本质特征不变，以突出数学本质特征而进行的教学.在数学题目的变式过程中，需要在具体和特殊的、有序变化的情境中，用比较、归纳等方法认识相关问题的差异性和共性，抽象出数学问题的本质，建立抽象化和一般化的数学模型.在此基础上，再次安排变化的问题情境，让学生在理解和把握数学问题本质的基础上，应用数学知识灵活解决问题.以上问题的变式探究中，思维的发展过程和涉及的数学基本思想如图11所示.

图11

在解答完题目1和题目2后，除了对解法进行回顾与反思，为了使学生能进一步发现两者之间的共性，可以设置以下问题，引导学生动手操作.

（1）若题目1中∠AMB≠90°，结论成立吗？若题目2中∠EAF≠60°，结论成立吗？

（2）若题目1中 ∠AMB=90°，∠OMQ≠90°，结论成立吗？若题目2中 ∠EAF=60°，∠CAD≠60°，结论成立吗？

（3）若题目1中OM≠MQ，结论成立吗？若题目2中CA≠AD，结论成立吗？

（4）若题目1中∠POM≠∠MOQ，结论成立吗？若题目2中∠BCA≠∠ACD，结论成立吗？

学生通过对以上问题的思考和动手操作，能更好地类比和归纳出题目1和题目2之间的共性，使学生思维的严谨性、深刻性、全面性得到发展.

在学生经历抽象和建模得出问题的本质之后，教师可以引导他们利用已知的数学模型自己出题，在此过程中让学生理解此模型的特点.在运用数学语言表达建模的过程中，多次经历完整的数学建模过程，发展学生思维的创造性，体验数学创造带来的喜悦.教师给出变式1和变式2，增加和改变具体情境中的背景，让学生模仿熟悉的数学建模过程解决问题，多次体验和经历真实的数学建模经验，进一步深刻理解问题的数学本质，进而发展思维的综合性和灵活性，提升数学建模素养.

四、教学启示

变式教学对于激发学生的学习兴趣，提高学习的有效性、领会数学的美感能够起到积极的作用，同时也能培养他们灵活应用知识的能力，发展数学思维，提升数学核心素养.对于如何在变式教学中发展学生的数学核心素养，笔者有以下三点感悟.

1.重视对教材资源的深度挖掘

选题是变式教学的关键.教材是数学知识的系统载体，是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的具体体现，也是学生获得知识的主要来源和教师教学的主要依据.教材中的例、习题具有典范性、拓展性和研究价值，对这些问题进行变式训练和挖掘拓展，有利于启发学生多角度地思考问题，发展学生的数学思维.

2.重视解题后的回顾与反思

波利亚在《怎样解题》一书中分解了数学解题的思维过程，得到了“怎样解题表”，包括弄清问题、拟定计划、实现计划，回顾与反思四个步骤.教师在教学中往往只关注解题表中的前三个步骤，经常忽略第四个步骤.研究表明，通过解题后的回顾与反思来改编、引申和推广问题，有利于学生发现数学问题与问题之间、方法与方法之间、概念与概念之间、体系与体系之间的包含关系、相似关系、相联关系等，并进一步发现数学知识内部之间各种各样的有机网络结构.解题之后进行推广引申，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质，提高认识.

题目1和题目2的类比和归纳正是关键性的回顾与反思环节，通过类比和归纳，可以发现两者在解法上高度统一，这就揭示了它们背后隐藏着本质的联系.解题后的回顾与反思不仅仅提供找到更简单解答的可能性，它还能让学生体验到如何提出数学问题，体验到真正“做数学”的味道.在得出问题推广后，教师让学生自己动手出题，这是再一次回顾与反思.学生需要根据模型的特点，设置具体化的情境，并利用数学语言进行表达，该过程既发展了学生思维的灵活性和综合性，又让学生体会到“做数学”的乐趣.

3.重视学生数学基本活动经验的积累

数学基本活动经验是学生数学核心素养的本原与根基.在建构数学知识体系框架与积累数学活动经验的基础上形成数学技能，提高学生数学素养是数学教学的基本任务.在课堂上，教师通过例题和习题揭示数学知识的本质，帮助学生建构数学知识结构.当学生的思维发展还不够深刻时，单纯依靠教师的讲解往往效果不佳.例如，在题目1和题目2的归纳中，若学生无法归纳、类比出两者的共性，就需要教师搭建脚手架，让学生自己动手操作体验，在得出问题推广后，让学生自己出题，进行数学创造，通过多种途径的思辨活动，促进学生理解和发现问题的本质.