基于几何直观能力发展的数学深度学习研究

苏婷

摘要：发展学生的思维能力，必须注重“几何直观能力”。本文以“图形的旋转”为例，对深度学习下初中生几何直观能力的发展进行研究，探索出一些基本策略。

关键词：几何直观能力;数学;深度学习;旋转

几何直观就是通过图形来描述和分析问题。它的好处在于化繁为简，使学生的思路清晰，结果容易被预测出来。而旋转变换是继学习过的平移、轴对称等全等变换后的另一种全等变换，也是发展学生几何直观能力的好素材。其实在深度学习中发展学生的能力更为重要。下面笔者就以“旋转”为例，谈谈深度学习下发展学生几何直观能力的策略。

一、教学实录

1.利用直观模型，理解旋转概念

利用信息技术呈现直观的图形世界，让学生看屏幕（图片分别是：电扇的叶片、风车的叶片、方向盘和卡通人物荡秋千）。

教师：生活中你经常见到这些现象，如果把电扇的叶片、风车的叶片、方向盘、卡通人物等看成一个平面图形，那么这些图形的运动有什么共同特征？

学生：它们都是图形的旋转。

教师：用自己的话，谈谈你们对旋转的理解。

学生：一个物体固定在一个点上转动。

（教师请两位学生示范转的过程）

教师：他们为什么这样做？

学生：他们总是会按一个点进行旋转。

教师：你们想象一下，再谈谈你们对旋转的理解。

学生：旋转可以看成一个图形绕着一个定点转动一定角度。

教师引导学生得到旋转的概念，并强调它的三要素。学生看屏幕（如图1）：

;学生：这一定点可以是图形上的一点。

学生：可以是图形外的一点。

学生：还可以是图形内的一点。

教师对学生的回答进行总结。

教学分析：几何直观具有四种表现形式，图形直观是其中的一种。本节课首先引导学生观察图形，从动态的直观图形中认识旋转现象，对旋转产生一个初步的表象。然后让学生进行具体的操作活动，进一步感知旋转变化，切实体验旋转的三要素：旋转方向、旋转角度、旋转中心。学生边操作边想象，以便真正地建立“旋转”的素材库。

2.通过数学实验，探究旋转性质

活动1：操作

教师：我们一起探究：利用“几何画板”软件，以图形外一点为旋转中心，观察旋转前、后的两个图形。

教师：观察上图，思考以下问题：

1.在旋转过程中，有哪些不变的数量关系？

2.若连接顶点与旋转中心，还有哪些不变的数量关系？

3. △OAC和△OA′C′有什么关系？

学生小组深度学习、交流讨论。

活动2：验证猜想

教师：打开“几何画板”软件，验证学生的猜想.

教师：我们在验证的过程中，可以改变旋转中心和旋转角。在你们深度学习旋转的相关知识后，自己尝试总结一下旋转的基本性质。

教学分析：通过观察三角形在旋转过程中的变化思考、探究，先是猜想，接着借助几何画板进行验证，容易直观地得出旋转的基本性质。在深度学习中，可以通过数学实验，利用“几何画板”创设动态的有关旋转的图案，这样使教学内容更加直观，学生感受到旋转之美，帮助他们形成正确的动态表象，有效发展其几何直观能力。

3.创设跟踪练习，培养画图习惯

在课堂练习环节设计一道画图题：

如图，已知线段AB绕点O旋转后的对应线段是CD，若A与C是对应点。你能找到旋转中心点O的位置吗？

教师：请同学们独立完成。

学生完成后，上台展示画出的图形，教师点击每一小题的动画按钮及时给出评价。

教学分析：设计的练习从内容看涉及旋转的基本性质，从题型看是作图题，是对本节课所学知识的应用。画图是数学深度学习的重要方式，可以反映学生对旋转概念及其基本性质的理解，也有助于几何直观能力的发展。在深度学习过程中，学生要养成画图的习惯，并进行画图技能的训练。

二、教学反思

1.在思维导图中实现深度学习

对旋转知识体系的理解是产生直觉的源泉，如果没有深度学习，也就不能发展学生的直观思维能力。而思维导图是一种将旋转知识点直观化的方法，在深度学习中就可以采取这个易于学生接受的方法，从而落实几何直观能力的发展。

2. 在模型建立中实现深度学习

学生在深度学习中将问题变为合理的数学旋转模型，有利于几何直观能力的发展。如果图形较分散，有个绝招就是运用图形的变化——旋转，将原图形中分散的条件集中在一起，疑问就能迎刃而解。旋转题型建模策略的实施主要经历两个阶段：

第一阶段，图形描述：通过图形语言来描述问题。如果图形中有满足的条件，即有相等的边和公共端点，就会想到可以用旋转。

第二阶段，建立旋转模型图：先找到图中相等的边，通过旋轉其中一条边使相等的边刚好重合，构造出相关的旋转模型图。其中旋转中心是唯一不动点，旋转90°可以构造等腰直角三角形，旋转180°可以构造与原图形成中心对称的图形。

为了发展学生的几何直观能力，需要鼓励学生深度学习，多总结、多归纳数学几何模型。在学习了旋转后，教师就应引导学生构建旋转直观模型。

2. 在模型求解中进行深度学习

旋转变换的观点渗透到数学深度学习中，将图形动静相结合进行研究，可进一步加深对图形本质的认识。在旋转模型图中，先要判断属于旋转的哪一类模型，然后思考这类模型有哪些性质，接着考虑这个性质能否直接拿来用，如果不能，就要辅助线来帮忙了。建立旋转模型图后，学生需要证明旋转全等，此时难点在于倒角。旋转中的倒角一般来说就两种情况：第一种是用SAS证明全等，夹角一般是两个相等的角加一个公共角;第二种用“8”字形模型图。通过对顶角相等，就能得出我们需要的角的关系了。

例如图9，正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD上的点，若∠EAF = 45°，AH⊥EF。

;猜想AH与AB的关系并给出证明。

此题是图形旋转模型的应用。有等线段AD与AB，共端点A，90°含半角45°，则可以旋转。如果学生对图形旋转模型图印象深刻，问题就很容易解决了。题目无法直接证明△ABE≌△AHE，那么将△ADF顺时针旋转90°（或将△ABE逆时针旋转90°），AD与AB重合，这样构建了半角旋转模型图，从而由旋转的性质及全等三角形的判定就容易求得结论。

综上所述，学生几何直观能力的发展是数学教学的重心，但在深度学习时，教师要向学生说明，虽然几何直观有很多好处，有时能简化解题过程，给数学学习带来方便，但也存在着一定的片面性和局限性，它并不适用于所有的数学问题。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（7）.

[3]刘金钟.铅笔数学 [M].广州：广东经济出版社，2018.