“数形结合”在计算教学中的有效利用

徐敏

[摘 要] 计算教学是小学数学的核心内容，主要包括整数、小数、分数的四则计算。在计算教学中，算理和算法相辅相成，缺一不可。但是算理和算法又十分抽象，对于以直观形象思维为主的小学生来说是学习的难点。数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。若运用数形结合的思想方法则可以化抽象为直观，更好地帮助学生理解算理和掌握算法。

[关键词] 小学数学；数形结合；算理；算法

数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也可以说数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学，而在数学教学中把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。可以说，数形结合是小学数学范围里最基本、最重要的思想。

一、在计算教学中运用数形结合方法的现状分析

在计算教学中，越来越多的教师意识到数形结合方法的重要性，懂得借助图形来帮助学生理解算理，但是多数停留在形式上，没有深入地挖掘图中的内涵，缺乏“数形结合”的运用策略，使图形与计算不能有效地整合，因此，无法取得好的计算教学效果。

如：在教学二年级下册《有余数的除法》时，教师让学生通过画图来分一分、圈一圈得出算式：7÷2=3（盘）……1（个）；17÷2=8（组）……1（个），接下来教师只是提问学生是怎样算出来的，并没有结合所画的图形来引导学生去理解算式中每一个数所表示的意思，从而导致学生不能较好地理解余数和有余数的除法的含义。

又如：在教学五年级下册《同分母分数加减法》时，教师让学生用画图的方式得出4道算式的结果：

接着，引导学生发现这些算式的计算方法是分母不变，分子相加减，最后让学生进行计算巩固练习。对本节课来说，“让学生理解为什么分母不变，分子相加减”是教学难点，在得出算法时，应该引导学生联系图与算式之间的联系，以算理来解释算法，这样才能真正突破难点。

二、“数形结合”在计算教学中的有效利用

（一）以“形”解“数”，初步感知算理

基于学生的生活经验和思维，一些计算的算理和算法对于他们来说是抽象、难以理解的。尤其是分数乘分数这一类纯粹数的计算是非常抽象的，因此，我们要为分数找对应的图形，以图形来表达分数，以图形来进行计算，以图形来解释算理，从而使学生在直观操作中理解算理。那如何借助图形，化抽象为直观，让学生理解抽象的算理呢？

【教学片段一】

1.探究[1/5]×[1/2]。

师：像[1/5]×[1/2]这样一个新的分数问题怎样研究呢？如果用这样一个长方形表示“1”，那么怎么画图呢？请大家在练习纸中试一试。

师：你们在画图的时候先分了什么？

生：先把单位“1”平均分成5份，取其中的1份。

师：接着又怎么分的？分完后又取了几份？

生：接着再把这一份平均分成2份，取其中的1份。

师：比一比，哪一幅图更能体现先分再取，再分再取呢？

课件演示：

师：通过画图我们知道了[1/5]×[1/2]实际上是求[1/5]的[1/2]是多少。那[1/5]的[1/2]到底是多少呢？

生：[1/10]。

师：你是怎么知道的？

生：只要添上一条辅助线，就能看出是[1/10]。

师：10在哪里？1在哪里？

2.探究[1/5]×[2/3]。

师：[1/5]×[2/3]这幅图又该怎样画呢？请大家画画看。

学生反馈：

师：[1/5]的[2/3]到底是多少呢？怎么修改这幅图呢？

生：只要把整幅图横着平均分成3份，那么整幅图一共平均分成15份，所以[1/5]×[2/3]=[2/15]。

【教学分析】

在該片断教学环节的处理上，多数教师会出现以下两种情况：

（1）先让学生画1次图，在画图中引导学生得出计算结果。再让学生结合图形解释算式[1/5]×[1/2]=[1/10]中的每一个数，在初步理解算理的同时抽象出算法。

（2）先通过让学生经历2次画图，得出两条算式：[1/5]×[1/2]=[1/10]，[1/5]×[2/3]=[2/15]。再引导学生观察这两条算式的数，得出分数乘分数的计算方法。

以上两种处理方式，教师重视的是从算式的表征出发，借助整数乘法，直接从表征概括出算法。这样会导致以后的计算只是从表征出发，套用算法计算，最后是为计算而计算，在数学素养上没有得到必要的提升。

笔者的处理则非常巧妙：在读懂学生和教材的基础上，在探究算理的过程中，选择长方形作为探究材料，充分发挥以形助数的作用，帮助学生理解算理。第一次让学生尝试画图，帮助学生理清画图的方法，归纳画法“分了再取，再分再取”，并且紧紧围绕“形”，让学生逐步理解[1/5]×[1/2]=[1/10]的[1/10]从哪里来？第二次画图则更注重以形解数，通过一系列的问题串，让学生感知[1/5]×[2/3]=[2/15]的算理。学生两次经历从数到形，再从形抽象出数的过程，初步感知了算理。

教学的成功之处是将数与形变成一组形影不离的好友，在这里，形不是桥梁，不是媒介，是合作伙伴，数与形一直同行，达到了初步理解算理的目标。

因此，在探究算理时，我们应该学习“慢文化”，先教给学生准确的画图方法，再引导学生以形解数，层层递进来感知算理。

（二）以“数”思“形”，再现感知痕迹，深化算理的构建

在借助实物或画图操作初步理解算理后，我们常常发现学生很难用完整的数学语言对操作的结果加以提炼和概括。这是为什么呢？主要原因是学生由动手操作到抽象概括缺少一个支撑点，这个支撑点便是表象。儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，如何建立这个支撑点，让学生的具体思维合理地向抽象思维转化，深化算理的构建呢？

【教学片段二】

探究[3/5]×[3/4]。

师：请大家闭上眼睛想一想，先画什么？再画什么？

师：谁来说，老师画。

生：先把整个长方形平均分成5份，取其中的3份；再把[3/5]平均分成4份，取其中的3份。

课件演示：

师：现在大家知道[3/5]×[3/4]是多少吗？

生：[9/20]。

师：怎么看出来的？

生：画辅助线就可以了。

【教学分析】

在算理的构建中，该环节“请大家闭上眼睛想一想，先画什么？再画什么？”是许多教师最容易忽略的。因为在有些教师看来，该环节的设置对于教学来说无关紧要。这是一种错误的意识，分数乘分数这一模型的构建从具体思维向抽象思维转化，对于学生来说是具有难度的，尤其是中下生。如果没有留给学生一个思考的空间，没有借助“在脑中画图”这种半具体半抽象的表象操作，那么一些学生难以实现从形象思维到抽象思维的有效转化。

再观察我在该环节上的处理：在引导学生探究[1/5]×[1/2]和[1/5]×[2/3]后，充分利用学生的两次感知经验，让学生在探究[3/5]×[3/4]时以“数”思“形”，在脑中思考先画什么，再画什么，再课件出示画图过程。这样的处理是建立在充分了解学生的认知基础上的，提供一个空间给学生在脑中再现感知的痕迹，成功建立表象后，再利用该表象与课件演示的图形对比，有效地让分数乘分数的模型在学生脑中留下深刻记忆，为后面顺利地进行抽象的概括打下了坚实的基础。

因此，在计算教学中，当学生通过直观操作获得丰富的感知，初步理解算理后，教师应引导学生在头脑中有效地建立表象，深化算理的构建。

（三）以“数”质“形”，猜想算法，实现算理向算法过渡

算理是客观存在的规律，是算法的理论依据，它保证了计算的合理性和正确性；而算法是算理的提炼和概括，它为计算提供了快捷的操作方法。学生只有真正理解了算理和算法，才能灵活、简便地进行计算。因此，在学生对算理有了较深的理解后，要帮助学生从算理过渡到算法。但以何种方式来更好地实现算理向算法过渡呢？

【教学片段三】

课件出示：[71/25]×[3/8]

师：这道题的积是多少，现在再画图解决好吗？

生：不好。

师：画图不是挺好的吗？刚才我们还用它解决了好几个问题呢，怎么到这里就不行了呢？

生：数小了行，大了就不好画了。

师：你真会思考。画图好是好，但也有局限性。其实我们的数学学习不能老停留在画图上，还得要探索一种更有效、更通用的方法。有什么更好的方法呢？

生：用分母乘分母，分子乘分子，就算出积了。

师：这个方法好是好，可是怎么让大家相信这样算是可以的？

生：刚才就是这样算的：[1/5]×[1/2]=[1/10]，5乘2做分母，1乘1做分子。

【教学分析】

在算理向算法的过渡上，我们一般会在帮助学生建立表象深化算理构建后，直接引导学生去探究算法。

笔者是这样处理的：在学生已经积累了较多的活动经验，对算理有了较深感知后，设计较大的“数”来质疑画图的可行性，制造认知冲突，让学生认识到图形的局限性，促使学生在之前的经验积累中去寻找新的解决问题的方法。这样一来，顺理成章地实现算理向算法的过渡，同时培养了学生利用合情推理去获得猜想和发现结论的能力。

因此，在计算教学中，我们可以合理利用“数”无限与“形”有限的特点，制造认识冲突，更好地激发学生从算理探究走向算法的探究。

数形结合，计算课堂亦精彩。在计算教学中，只要我们基于学情，认真研读教材，有的放矢地运用数形结合思想方法，为学生构建一个“算理”和“算法”交融的计算课堂，引导学生在算法探究中理解算理，在理解算理的基础上形成算法，那么我们的计算课堂一定会更高效、更精彩。

[參 考 文 献]

[1]刘兼，孙晓天.义教数学课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社，2002.

[2]高娟.小学数学教学中渗透数形结合思想的策略[J].陕西教育（教学版），2015（8）.

[3]蔡敦斌.数形结合在小学数学“数与代数”教学中的策略探究[J].亚太教育，2016（10）.

[4]吕会聪.数形结合在计算教学中的渗透策略[J].小学数学教育，2016（9）.

[5]郑辛.数形结合在小学高年级计算教学中的运用[J].课程教育研究：学法教法研究，2016（3）.

（责任编辑：李雪虹）