以列方程组的思路求二次函数解析式

山东省菏泽市单县高韦庄镇中学 王志敏

二次函数是初中数学最基本、最重要的一个函数，这个函数解析式的变式比较多，而且是几何与代数的综合，所以涉及的知识点比较多。如果对相关知识不够熟悉，看到这里出现这么多的字母，理解起来就比较困难。要求二次函数解析式，首先要明确目标，确定二次函数三个常数系数a，b，c的值，其次要了解三种表达式之间的关系：由一般式到顶点式，需要提取二次项系数并配方这个步骤；一般式与两根式的关系是通过一元二次方程的解和韦达定理联系起来的。而解三元一次方程组时，需要用到消元的方法，要想得到三个未知数的解，至少需要列出三个方程，所以要求得二次函数的解析式，我们就要列出以a，b，c为未知数的三个方程。

一、将一般式转化成三元一次方程组求解

函数方程不仅是一种教学工具，而且也为函数教学提供了研究方法，是数学的一种研究手段。函数的定义是：在某变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么，就把y叫作x的函数。如果x的最高次数是一次，那么，这个函数就是一元一次函数；如果x的最高次数是二次，那么这个函数就是一元二次函数。一元指只含有一个未知数，因为初中阶段只涉及一元函数，不涉及二元及多元函数，所以一元一次函数又叫一次函数，一元二次函数叫二次函数。

二次函数的基本表达式为一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），其中，a为二次项系数，b为一次项系数。

例如：已知一个二次函数过三个点（1，6），（2，11），（3，18），求二次函数解析式。

这个题的关键是要知道二次函数的每个点的表示方法是（x，y），也就是当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝11；当x＝3时，y＝18。将三个点代入方程，就可以得到一个三元一次方程组：

这个三元一次方程组通过消元，就可以得出a，b，c的值，进而列出二次函数解析式。

二、将顶点式转化成方程组求解

当已知条件里面有顶点（最低点或最高点）时，就可以用二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k（a，h，k为常数，a≠0）。需要注意：将顶点坐标代入顶点式后，就可以将二次函数变成只有一个变量a的函数y’，这时再代入另一个点的坐标就可以求出a，然后将a的值代入y’，最后将平方式展开整理，就可以得到二次函数解析式的一般式。

例如：已知二次函数的最低点是（2，3），并过（1，4）这个点，求二次函数的解析式。

这道题的关键是理解最低点的含义，最低点表示这条抛物线过（2，3）这个点，将点坐标代入二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）时是成立的。另一个已知条件是这条抛物线还过点（1，4），也就是说将这个点代入一般表达式也是成立的。

用二次函数的顶点式y＝a(x－h)2＋k（a，h，k为常数，a≠0），这个时候可以看到这个二次函数还是有三个未知数，不过，因为知道顶点，也就是h，k是已知条件，所以直接将h＝2，k＝3代入二次函数的顶点式，就可以得到y＝a(x－2)2＋3这个新函数。将（1，4）这个点代入后得到4＝a(1－2)2＋3，这个方程中只有一个未知数，解得a＝1，将a＝1代入y，然后将平方式展开整理，就可以得到二次函数的一般式。

三、将两根式转化成方程组求解

用两根式求二次函数的解析式时，需要注意的是当函数值等于0时，二次函数变成了一个一元二次方程，x1和x2是这个方程的两个解，两根式与一般式之间的联系是韦达定理，韦达定理的表达式是

例如：已知二次函数与x轴的交点是（1，0），（2，0），并且这个函数过点（3，2），求二次函数解析式。

我们可以看到这个题给出了三个点，因此可以列出二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将三个点直接代入一般式可以得到三个方程里面有三个未知数，通过消元，就可以得到a，b，c的值。