对数学归纳法的改进

龚远华

【摘 要】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在近年的高考试题中，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—-归纳—-猜想—-证明”的思维模式，就显得特别重要。在运用归纳法步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系，但是“凑”结论这个过程往往需要一些技巧，变形难度较大，也没具体固定的方法，这里对步骤②略作改进使其形成通法，以回避拼凑结论这个过程。

【关键词】 数学归纳法；改进

一、数学归纳法的概念

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n=n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从nn开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可。特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

二、常规的数学归纳法关键步骤及易犯的错误

1. 关键步骤

用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n=k+1时为什么成立，n=k+1时成立是利用假设n=k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立，而不是直接代入，这里采用的方法突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，难度大技巧性强。

2. 运用数学归纳法时易犯的错误

（1）对项数估算的错误，特别是寻找n=k与n=k+1的关系时，项数发生什么變化被弄错。

（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。

（3）关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。

三、“凑”结论的一些技巧

“凑”结论这个过程往往需要一些技巧。变形难度较大，也没具体固定的方法，而且易犯的错误因此这里对步骤②略作改进使其形成通法，以回避拼凑结论这个过程。

1. 对等式的证明

例1 用数学归纳法证明：

n∈N*■+■+…+■=■。

解析：①当n=1时，

左边=■=■，

右边=■=■，

左边=右边，

所以等式成立。

②假设n=k（k≥1）时等式成立，

即有■+■+…+■=■，

则当n=k+1时，

■+■+…+■+■

=■+■

■

下面证明：■+■=■

∵■+■-■

=■+■-■

=■

=■

=0

∴可得■+■=■

所以当n=k+1时，等式也成立。

由①，②可知，对一切n∈N*等式都成立。

方法总结：对于等式的证明可先利用假设，再利用作差或作商的办法证明到左边与右边相等。

2. 对不等式的证明

例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1+■1+■…1+■>■成立。

解析：①当n=2时，

左边=1+■=■，

右边=■，

∵■>■，

∴不等式成立。

②假设n=k（k≥2且k∈N*）时，不等式成立，即

1+■1+■…1+■>■

那么当n=k+1时，

1+■1+■…1+■+1+■>■·■=■

下面证明：■>■

∵k≥1

欲证■>■

即证■>■

即证4k2+8k+4>（2k+3）（2k+1）

即4k2+8k+4>4k2+8k+3

即证4>3，显然成立。

∴n=k+1时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

总之对数学归纳法进行改进以后，回避了拼凑过程，不需要有技巧的变形，拼凑，从而变化成更大众的一些，更常规一些的不等式的证明。

【参考文献】

[1] 唐子周. 关于数学归纳法的一点探索[J]. 中国科技信息，2008（03）.

[2] 张莉，贺孝贤. 数学归纳法的历史[J]. 辽宁师范大学学报，1999（2）.