初中数学问题解决策略摭谈

钱祖康

[摘 要] 问题解决是初中数学教学的重要内容，在实际教学中，问题解决能力培养的突破口在于问题解决策略的培养. 作为问题解决的前置性条件，问题解决策略可以通过问题解决中引入数学活动来得到培养，教师教学的着力点则在于强化策略运用过程，让学生有效体验，进而形成直觉.

[关键词] 初中数学；问题解决；问题解决策略

对于初中数学教师而言，问题解决的重要性不言而喻，在经验视角中，问题解决就是解决问题，当然也有同行将之与习题教学等同起来. 尽管我们认为这样的认识是较为狭隘的，但不可否认的一点是，当前关于问题解决更多的是一种宏观视角，也就是把问题解决看作是一个教学目标与思维过程并重的事物. 应当说，从理论上来讲，这样的认识是准确且全面的，但从实际教学的角度来看，由于视角过于宏观，所以容易忽视问题解决教学中的一些重要环节，从而使问题解决没有一个坚实的根基. 基于这样的思考，笔者努力关注学生在问题解决过程中的思维，结果发现影响问题解决结果的，有时候并不是与问题解决相关的数学知识掌握，而是数学知识运用之前的问题解决策略运用. 也就是说，有时即使数学知识掌握得再好，但问题解决策略不当，一样无法形成有效的问题解决能力. 因此，问题解决能力培养的首要环节，就是问题解决策略的培养. 关注其重要性并致力于其培养，可能是当前初中数学教学的一个重点.

问题解决策略之于问题解决的重要性

问题解决之所以在数学教学中得到重视，一个根本原因是，其是学生数学学习水平几乎唯一重要的体现. 当前，核心素养正引起教育界同仁的高度重视，而问题解决能力就属于学生应当具备的“关键能力”之一. 但问题解决能力的形成并不是一蹴而就的，在引导学生提升问题解决能力的过程中，是按部就班地逐步培养学生的问题解决能力，还是寻找一个突破口，以点带面地培养学生的问题解决能力，这成为摆在数学教师面前的一个重要选择.

传统思路下，学生的数学问题解决能力是累积形成的，因此可能需要按部就班式的思路；而本轮的课程改革告诉我们这样一个基本事实：即使是数学基础最差的学生，其在问题解决的过程中也总是带着最基本的思路. 因此，寻找一个突破口，让学生在问题解决过程中获得能力，可能更为实际. 而笔者在实践中也发现，问题解决策略就是这个重要的突破口.

问题解决策略，即开始解决问题时所选择的策略，其在心理学视角下定义为“人们在解决问题的过程中搜索问题空间、选择认知操作方式时所运用的策略的总称”. 问题解决的方法包括试错法（国内著名特级教师华应龙的融错教育有此思想，尽管其为小学数学领域，但对初中数学有积极的参考意义）、正向推导法（由已知条件向所求推导）、反向推导法（分析问题解决所需要的条件，并将之与已知条件进行对比）等. 问题解决过程中对方法的选择，实际上就是问题解决策略的产物，因此从这个角度讲，问题解决策略是问题解决者根据自己的解题经验与智慧，选择、组合问题解决方法的策略.

在初中数学教学中，我们常常看到这样的现象：学生面对一个问题时，往往卡在问题解决的最初，这实际上就是策略选择有问题，而一旦教师给学生指明解决问题的思路时，学生就能比较轻松地解决了；有时遇到一题多解的问题，学生又会根据自己的原有经验忽视其他问题解决思路，这说明学生在重复性的解题中形成了较低的定式水平；更多的时候，学生对自己是如何成功解决问题的，或为什么无法解决问题，处于高度茫然的状態，这说明学生对问题解决策略缺少关注与反思……凡此种种，影响了学生问题解决策略的选择，也最终影响了问题解决能力的形成.

因此，问题解决策略就是问题解决能力培养的一个最为重要的前提，牵住这个“牛鼻子”，就可以化解问题解决中遇到的很大一部分问题.

培养学生良好的问题解决策略尝试

有研究者指出，从更广视域内培养学生的问题解决能力，多让学生在熟悉的、既定的数学规律与方法之外去选择与使用，可以有效地培养学生的问题解决能力. 在这样的思路下，数学活动成为一线数学教师的重要选择.

数学活动与当前初中数学教师积极尝试的数字实验有类似的地方，其通过学生的“做”去开拓学生的思路，培养学生的思维；同时，数学活动又不仅仅限于动手做，更侧重于动脑思考. 在笔者看来，无论是做还是思，本质上都应当围绕问题解决策略的选择来进行. 笔者在“勾股定理”的教学中，尝试通过数学活动来培养学生的问题解决策略，取得了一定的效果. 现对此教学过程分两个环节进行简述.

1. 第一个环节是“勾股定理”的建立环节

目前，勾股定理基本上都是通过毕达哥拉斯（以下简称毕氏）的故事来引入的，考虑到课堂容量与教学效率，毕氏所研究的地面图形更多的是通过多媒体来呈现的. 笔者考虑到幻灯片中的图形只能成为学生思维加工的对象，而不能成为“做”的对象，这客观上使得学生的思维变得有些抽象，于是将毕氏的图形变成教具——两种颜色的等腰直角三角形，让学生据此“拼”出不同花纹的地面，同时提出问题：在摆放的过程中，能否发现直角三角形三边关系新的特性？事实证明，在这样的问题驱动之下，学生相当积极，而解决问题则成为学生活动的动力.

同时，由于问题直接指向直角三角形（事实上学生此时的思维对象是等腰直角三角形），方向如此明确，使得学生对直角三角形三边关系展开探究. 此时，便涉及问题解决策略. 事实表明：学生最初的思路是直接比较三边的和、差、积、商关系，但很快发现此路不通. 于是，笔者提醒学生：你所研究的直角三角形处于诸多直角三角形拼成的大的图形当中，你看到的还应当有其他图形. 这是本活动过程中的关键一步，也是策略提醒的一步. 在这一提醒（实际上是策略引导）之下，学生会去研究直角三角形三边相邻的正方形，而正方形的数量无非是边长、周长、面积等，当学生的思维转向面积时，勾股定理就容易被发现了. 其后的过程同行们都比较熟悉，此处不赘述.

2. 第二个环节是“勾股定理”的应用环节

勾股定理的应用在初中数学教学中非常重要，根据经验，初中生对勾股定理的应用往往只限于对现有直角三角形进行直接运算，而当需要构建新的直角三角形或有其他需要时，学生往往缺乏明确的策略支撑.

例如，有这样一个问题：给你一把刻度尺，你有几种方法得出一个圆柱形杯子的直径？

此问题最直接的解决方法是用尺去测量杯底直径（这种方法简单、直接、有效，不应当被排斥在数学方法之外），而当追问学生有无第二种方法时，学生就容易卡壳. 卡壳的一个直接原因，是学生无法发现此中存在的直角三角形，即使教师提醒学生是不是可以用勾股定理求解时，不少学生仍然感觉无计可施. 此时，笔者建议不要过多提醒，而是让学生绞尽脑汁地去想. 事实证明，当学生看到将尺斜放在杯中变成一条斜边时，那种兴奋之情是溢于言表的，而这也正是数学探究中的一种品质与意志的培养，也属于核心素养中的“必备品格”.

类似的问题还有：已知一扇门框的尺寸是高2 m、宽1 m，那一扇长3 m、宽2.2 m的长方形木板能否从门框内通过？这个问题的解决涉及学生将门框的对角线长度与木板的宽度进行对比. 而学生的问题解决过程非常有趣，相当一部分学生都是将长方形木板要么“横”着走，要么“竖”着走，就是想不到“斜”着走. 这些其实都是问题解决策略的一部分，教师不需要多讲，可放手让学生自己探索，最终比较门框的对角线长度与木板的宽度.

以上两个事例表明，当问题解决不局限于问题本身，当学生能够在一个更为真实、完整的情境中解决问题时，学生对问题本身，对解决问题所用到的数学工具的印象，往往更为深刻，对数学工具使用的熟悉程度也会大大增强.

生本视角下问题解决策略到问题解决

问题解决说到底是面向学生的，问题解决能力本质上是学生的能力培养，因而问题解决策略应当面向学生，这就是生本视角.

生本视角下，学生的问题解决策略把握得当了，那问题解决的大门也就打开了，因此，将问题解决策略的培养当成问题解决能力培养的前置性条件，逻辑上是行得通的，实践也证明其是可行的.

当然，这里还有一个根本性的问题，即从教师教学的角度，将问题解决策略从问题解决中剥离出来加以论述，那只是为了强调其重要性；而在具体的教学过程中，问题解决本身就是一个完整的过程，是一个完整的思维，不宜剥离. 尊重學生思维的整体性，只是在问题解决过程中着力强调策略的运用，这样才能培养学生良好的直觉，从而切实培养学生的问题解决能力.