寻求并创造基本图形的解题思路

湖北省襄阳市田家炳中学(441004) 康士瑞

《数学课程标准》提出“能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系,利用直观来进行思考”.“几何教学从某种意义上讲,就是教会学生认识基本图形的性质,引导学生用基本图形去分析问题和解决问题,提高学生逻辑思维和逻辑推理能力”.这明确地要求数学教师在平时的教学中注重对基本图形的教学,建立基本图形的知识体系,有意识地引导学生用基本图形来解题,形成寻求并创造基本图形的解题思路,促进学生几何思维能力和解题经验的发展.下面谈谈我的作法

一、建立基本图形知识体系,提高识图能力

图1

我们知道,每一个几何概念、定理都对应着一个基本图形,它是概念、定理的载体,于是就建立了几何概念、定理与基本图形的一个对应关系:由概念、定理联想基本图形,也可以由基本图形联想概念、定理.如三角形外角的基本图形如图1,看到基本图形1就想到∠1是△ABC的外角及∠1=∠A+∠B;由三角形外角就联想到基本图形1和它的性质∠1=∠A+∠B,如此基本图形的图形语言与概念、定理的文字语言以及符号语言三向关联,养成三种语言同步思维的习惯,实现直观与抽象的有机转换.在平时教学中单独讲一个概念或定理及它对应的基本图形,学生很容易理解,对稍复杂的图形有些学生就看不出基本图形,更别想用它的性质来解题了,所以教学时通过变式,训练学生在千变万状的图形中寻找基本图形,将主阵地迁移到基本图形中,寻求问题的本质,通过观察、思考、操作等数学活动练就一双慧眼,提高识图能力.如教学内错角定义时,先让学生读书中描述性的定义,看图形进行理解,再与同学交流;教师根据学生理解的程度在黑板上画出基本图形(如图2),指出内错角的位置是在两直线内部第三条直线两侧,然后变式:指出图3中的∠1、∠2是否为内错角,

图2

图3

再提炼内错角基本图形的结构特征:呈“Z”字形(如图4),最后在图5中找出内错角.

图4

图5

运用“基本”、“变式”、“复合”三种图形相结合的方式进行教学,揭示了概念的本质属性,提高了学生感知基本图形和分析基本图形的能力,发展了学生直觉思维能力,有利于学生在解题中去发现真正起决定作用的图形,从而提高解题效率.

在单元知识教学中用基本图形及相应的符号语言,将零散的知识以“串”的形式组织起来,形成基本图形体系,便于学生直观形象地理解知识的内涵与联系,可以说“一张基本图形图,胜似千言万语”.

在中考复习尤其是第一轮复习阶段,利用基本图形(如等腰三角形、有特殊角的直角三角形、平行四边形等),通过图形变换(平移、轴对称、旋转等)进行动态的图形组合,建立各基本图形之间的必然联系,在形成模块思想的同时,体会数学知识内在的和谐与统一.如在复习相似三角形时对斜交型基本图形作如下变换:

图6

图7

通过平移、旋转变换,将知识、方法、数学思想形成一个体系,让学生不仅感到基本图形将数学复习内容“旧貌换新颜”,而且以全新的视角发现知识间的联系,把书本读 ,真正认识形变质不变.设置习题应“量不在多,典型就行;题不在难,有思想就灵”

二、寻找基本图形,破解解题思路,形成解题能力

“类型是模式的骨架,范例是模式的血肉①”.如果将寻找并构造基本图形作为一种解题模式,将要呈现的就是范例,通过对范例的分析,使学生从中领悟到运用基本图形解决问题的一些方法和技巧,并将范例的解决过程化归为将所给的图形分解为或补充为基本图形的过程,给学生找到一种解决问题的思路.

图8

(1)以书中的概念、定理及其性质的基本图形为线索,构建习题,使学生学会运用基本图形解决一类问题的方法.如在学习“直角三角形中线性质”后,出示例题:如图8,已知△ABC中,BE、CF是高,M、N分别为BC、EF的中点,求证:MN⊥EF.

当学生思考出现停滞时,可提示:由已知BE是高,图中有什么基本图形?它有什么性质?点M是BC的中点又想到什么基本图形?它的性质又是什么?经提醒学生马上想到BE是高,有Rt△BEC和Rt△ABE,点M是中点,BC是斜边,联想到直角三角形斜边上的中线这一知识点,于是,连接ME,有同理,连接MF,则所以FM=EM,得到等腰△EFM,在等腰三角形这个基本图形中,联想三线合一的性质:N是EF的中点,所以MN是高线,即MN⊥EF.象这样由题目的已知条件想相应的基本图形和它的性质,然后用基本图形的性质进行推理或计算,当图中的基本图形残缺时应补全图形,构造完整的基本图形进行推理或计算,引领学生的思维进行有序地思考,减少过程中的旁逸,使解题思路产生在学生的最近发展区,为寻找解题的突破口提供线索.这种解题方法,学生容易接受,也愿意参与到课堂教学中来,只有被学生理解的方法,使用时才会得心应手.

图9

图10

(2)以例习题常见的图形为基本图形,利用它的性质去解决其它题目,能抓住问题的本质,提高解题效率.书中有一些例习题中的图形,虽不是概念、定理及推论的基本图形,而是由基本图形组合得到的,由于它们在解题中用的较多是研究复杂问题的基础,也相当于基本图形.如学完“三角形外角”后的例题:如图11,线段AD、BC相交于点P,连接BC、AD,问:∠A+∠B与∠C+∠D相等?为什么?

图11

图12

图13

一些同学发现这个图形是由两个三角形的基本图形叠加而成,如图12,根据三角形内角和定理知:∠A+∠B+∠APB=180°;∠C+ ∠D+∠CPD=180°,由题目条件:线段AD、BC相交于点P,联想它的基本图形及性质:有两对对顶角相等:∠APB= ∠CPD,∠APC= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

另一些同学注意到这个图形是由两个三角形外角的基本图形叠加而成,如图13,∠BPD是△APB的一个外角,有∠BPD=∠A+∠B,∠BPD也是△CPD的一个外角,有 ∠BPD= ∠C+∠D,因为∠BPD= ∠BPD,所以∠A+∠B=∠C+∠D.

像这种有一对对顶角的两个三角形,我们称它为”8字形”或”对顶三角形”,也可以作为基本图形.直接用它的结论:如果两个三角形有一个角是对顶角,那么其它两个角的和相等.在今后解几何题时,若能从复杂的图形中找出对顶三角形并用它的结论求解,往往事半功倍.请同学们试一试下面两组题

1、如图 14,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠1= ∠2,求:∠AFC的度数

图14

图15

2、已知:如图16,AD与BC相交于P,AF为∠BAD的平分线,CF为∠BCD的平分线.探求:∠F与∠B、∠D之间的关系?

图16

图17

图18

练习1是我们经常会遇到的求两条线段所在直线的夹角,这类问题对相当一部分学生有难度,但当有些同学说出∠1、∠2、∠ABC和∠AFC,都在8字形图(如图15)中时他们认识到寻找基本图形是解题的首选,获得的解题经验是:找出“隐”在复杂图形中的基本图形就架起了已知条件和结论之间联系的桥梁,快速凸显解题突破口,促进有效地解题.练习2要找的∠F、∠B、∠D三个角好象没有关联,又没有代换的条件,两条角平分线也发挥不了作用,所以对初学者来说难度较大.基本图形又如草里珠令人视而不见,经过一番脑风暴后学生发现题中有三个8字形,筛选出与∠F有关的如图17、如图18,问题得解:∠BAF+∠B=∠F+∠BCF,∠D+∠FCD=∠F+∠FAD,两式相加:∠B+∠D=2∠F.

这种设计是强化学生运用基本图形的意识,促使并提醒学生在解题过程中要不断控制和调整自己的思路,坚定地沿着寻找基本图形的方向展开和延伸.最后给出思考练习

3、如图19,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度数.

4、如图20,求:∠A+∠B+∠C+∠D,+∠E的度数.

图19

图20

本组练习省略了8字形基本图形的关键部分,模糊了基本图形的轮廓.但是学生只要能抓住该基本图形的特征,通过添加辅助线CD,让基本图形显现出来,再利用三角形内角和定理,顺利解决问题.

设计这两组题是让学生在新的情境中不断体验用基本图形解题的明快,明确解题流程,形成自己的解题经验,使学生的思维能力在不知不觉中得到提升、发展与巩固.

典型基本图形广泛存在于各种不同的背景之下,根据不同的背景,以基本图形为线索构建习题链接,展示和体现“运用已积累的知识和经验解决问题”这一策略.仅以全等三角形中的一例来说明8字形基本图的运用.

5、如图21,点A在DE上,点F在AB上,AC=CE,∠1=∠2=∠3.找出图中与DE相等的线段.

图21

图22

此题很容易将∠2= ∠3转化为∠ACB= ∠DCE,但∠1= ∠2如何应用是一个难点,有部分学生会放弃,如能发现8字形图,如图22,则有∠B= ∠D.从而△ABC△CDE(AAS),所以DE=BC.

在平时课堂教学中通过“滚雪球”的方式对每一个基本图形进行“学习基本图形-初步运用基本图形-反复运用基本图形”来解题,使基本图形和它的运用反复在学生头脑中呈现,形成用基本图形解题的策略与意识,实现知识的生成和模块的突破.可将复杂问题简单化、方向化,提高思维的深刻性、灵活性.

(3)由实际生活中产生,经常在习题、考题中出现的图形,提炼为基本图形,如“将军饮马问题”,实质是利用轴对称将“线段和最短”问题转化成两点之间线段最短,因此只要符合一条直线同侧有两个点求线段和最小,都可以用这个知识点来思考,实际也是一种模型化的思考方式.如2010年淮安中考试题:(1)观察发现:如图23,点A、B在直线l同侧,在直线l上找一点P使AP+BP的值最小.再如图24,在等边△ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P使AP+PE的值最小.(2)实践运用:如图25,已知⊙O直径CD为4,弧AD的度数是60°,点B是弧AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小并求这个最小值.(3)拓展延伸:如图26,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.

图23

图24

图25

图26

本考题先再现了课本的原形,又拓展到等边三角形、圆、四边形,旨在考察学生提取基本图形,建立基本图形解决实际问题的能力.同时也指出在平时教学中让学生经历基本图形的观察、构造、变形,在不同的环境里不断地让学生体味方法的重要,体会数形结合、转化、化归等数学思想方法和思维方式,有助于积累、综合运用基本图形解决问题的数学活动经验,发展思维能力和创新意思.

三、运用基本图形破解中考压轴题,体会用基本图形解题的优越性

图27

基本图形具有广阔的拓展空间,在历年的中考试题中根植于基本图形的试题屡见不鲜,题型囊括了选择、填空和解答题,它们像将军一样静静地守卫在把关题的岗位上,肩负着为高一级学校选拔优秀人才的使命.如2014年广州中考第25题:如图 27,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,点E为线段CD上一动点(不与点C重合),△BCE关于BE的轴对称图形为△BEF,连接CF,设CE=x,△BCF的面积为S1,△CEF的面积为S2.

(1)当点F落在梯形ABCD的中位线上时,求x的值;

(2)试用x表示S2:S1,并写出x的取值范围;

(3)当△BEF的外接圆与AD相切时,求S2:S1的值.

本题题设有两个基本图形一是直角梯形可由已知求面积,另一个是轴对称图形:有两个全等的直角三角形,Rt△EBCRt△EFB;在这两个基本图形中又隐含了多个其它基本图形,一旦发现就可以实现基本图形间的整合和转化.有等腰三角形△EFC与△BFC:EF=EC=x,BF=BC=4,有角平分线:BE是∠FEC和∠FBC的平分线,也有线段的垂直平分线:BE是FC的中垂线,MN是BC的中垂线.设FC与BE相交于G,有S△EFG=S△EGC,S△FGB=S△GBC这两个基本图形叠加整合出母子三角形的基本图形,Rt△EGC∽Rt△GBC∽Rt△ECB,审题至此第二问S2:S1=x2;16,已经完成.

第1和3两问则要另行画图,通过折纸操作画出图28、29.

图28

图29

第1问,方法1:因MN是直角梯形中位线得到MN是BC的中垂线,有FC=FB,所以BF=FC=BC=4,得到△FBC是等边三角形这一基本图形,由BE是∠FBC的平分线知∠EBC=30°,在Rt△EBC中求出x的值,从这种行云流水般的分析可知找出MN是BC的中垂线是解题的关键,也是思维的切入点.

方法2:由折叠知EB平分∠CEF,由MN是梯形ABCD的中位线知AB//MN//CD,联想“角平分线+平行线必有等腰三角形”这一基本图形,有CE=EF=FH=x,进而HN是△ECB的中位线,再由直角梯形ABCD中,MN是中位线,MN⊥BC,在Rt△FBN中,由勾股定理得一元二次方程,解方程求出x的值.

图30

第 3问,因△BEF是直角三角形,斜边BE的中点O就是外切圆的圆心,BE是直径,点C在 圆 上,在 Rt△BEC中,点O也在梯形的中位线MN上,得ON是△BEC的中位线,AD是⊙O的切线,OF⊥AD,因为MN//CD,所以∠D= ∠OMF,过A作AP⊥CD,得到相似三角形基本图形的变式图形所以AP:AD=OF:OM,由于OF=OE,得到关于x的一元二次方程,求出x,问题得解.

上述分析完全是学生庖丁解牛般的思维发散,重现平时学习熟悉的一个个核心基本图形,在较短时间内抓住问题的本质,既防止无关信息的负面干扰,又以“块到块”的思维模式代替“点到点”的思维模式,从方法论的高度提高思维的敏捷性,开阔了解压轴题的思维,丰富了学生解压轴题的创造力,做到“胸有成图”其乐无穷.

《课程标准》、中考试题都引领我们平时的教学,一方面重视基本图形的教学,让基本图形的寻找与运用成为发展学生思维能力和创新意识的沃土;另一方面体现教育新理念,通过教师精心设计和组织以基本图形为链接的习题,激发学生的思考,挖掘学生的潜能,让学生充分认识到积累、运用基本图形蕴藏着无尽的宝藏,从而重视基本图形,向基本图形“问道”,从基本图形“借力”,探寻解题规律、创新解题方法、优化解题策略,建立知识体系,体验数学知识内在的和谐与统一等好的学习习惯,使学生具有良好的思维品质与素养.如此,创造性思维品质的形成就成为水到渠成的自然之势和瓜熟蒂落的必然之果.