基于核心素养背景下的教材处理—以《方程的根与函数的零点》为例

福建省厦门市集美中学(361021) 许雅红

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》(简称《意见》)颁布后,“核心素养”这一概念成为我国教育科学领域新课程改革推进的最新要求.数学是高中阶段一门非常重要的课程,如何在高中数学教学中落实培养好学生的核心素养,成为高中数学教育工作者的重要工作.本文从对教材的理解和处理上,以《方程的根与函数的零点》的例题1为例进行了探索.

1 高中数学核心素养概述

高中数学课标修订组给出了数学抽像、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个数学核心素养.数学素养是指学生通过数学知识、方法的积累与掌握、运用与内化,在实际情境中经历从数学的角度思考问题,用数学思想分析问题,用数学方法解决问题,从而形成的能力、习惯和品质等.

2 教材处理

本节选自《普通高中课程标准实验教科书数学I必修本(A版)》的第三章第一节3.1.1方程的根与函数的零点的例题1“求函数f(x)=lnx+2x−6的零点个数?

2.1 尊重教材,体会核心素养

教材给出解法:函数y=f(x)零点个数→函数y=f(x)的图像与x轴交点个数.

绘图→观察得出结论→证明结论.

绘图:学生在已有知识基础上借用计算器或计算机,通过列表—描点—画出大致图像.

表1

由表1和图1可知,f(2)＜0,f(3)＞0,则f(2)·f(3)＜0,且函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点,且仅有一个零点.(借助几何画板演示画出该图像以更精准的方式呈现出来.图像在后期学完函数导数后能更好处理.)

图1

函数是中学数学的核心概念,核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性,既是初等数学的基础,又是初等数学与高等数学的连接纽带.而函数的零点就是其中的一个链接点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程联系在一起.本段是在学生学习了基本初等函数及其相关性质,具备初步数形结合的能力基础之上,以及已掌握了零点的概念与零点存在性定理,以及利用函数图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数,从而要求掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,并为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础.教材解法上通过绘图→观察得出结论→证明结论.在学习内容及其顺序符合学生的思维发展水平和认知经验,先易后难.从学生的现有认知准备出发,能打动学生,也能引起学生的注意,促进学生的主动学习.零点问题能培养学生的逻辑推理及直观想象的核心素养,已然也是高考的热点.下面例题节选于2016年新课标1卷文科21题:

已知函数f(x)=(x−2)ex+a(x−1)2,求当a＞0时,f(x)有几个零点?

解f′(x)=(x−1)ex+2a(x−1)=(x−1)(ex+2a).由a＞0,当x∈(−∞,1)时,f′(x)＜0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0.所以在(−∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=−e,f(2)=a,取b满足b＜0且则所以f(x)有两个零点.

该题是常见的含参函数求零点个数,通过借助函数图像,应用函数零点存在性定理求解,还对数据处理能力做出要求,在(−∞,1)上取出b使得f(b)＞0.对核心素养的要求以高考为载体体现出来,要求我们老师在备课处理教材时要紧扣高考培养学生的核心素养.

2.2 拓展教材,彰显核心素养

教材的解法对图像的处理是通过描点做出图像,在精确性上有点欠缺,用几何画板学生在操作上不够便利,导数方法处理图像高一学生还没学习.对于该函数图像不易画出,寻求解决方案.发现把该函数拆成我们常见的函数,画出它们图像就不难了.根据该想法做出以下探究.

已有的知识:方程的根与函数零点的关系.

函数y=f(x)零点个数⇔方程f(x)=0实数根个数⇔函数y=f(x)的图像与x轴交点个数(即函数y=f(x)与y=0的交点个数).

从教材解法得到启示:把问题转化为求函数f(x)= lnx+2x−6与x轴的交点个数,即,求的交点个数.求函数f(x)=lnx+2x−6的零点个数⇔求方程lnx+2x−6=0实根个数.进而把lnx+2x−6=0化为lnx=−2x+6,最终把问题转化为求的交点个数.

绘图→观察得出结论→证明结论.

图2

由图像知函数y=lnx与函数y=−2x+6有一个交点,这说明函数f(x)在定义域内仅有一个零点,并且可知道交点的横坐标即为函数y=f(x)的零点.(严格证明:函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,且f(2)＜0,f(3)＞0,则f(2)·f(3)＜0,这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点,且仅有一个零点.)

归纳小结:函数y=f(x)零点个数⇔方程f(x)=0实数根个数⇔f(x)=φ(x)−ψ(x)=0实数根个数⇔φ(x)=ψ(x)实数根个数⇔的交点个数.为常见几类基本函数)

在教材解法上进行拓展,对基本思想方法传承的基础上,还注重培养学生的类比归纳能力.史宁中教授:“会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界.”数学的眼光指抽像、一般的看问题,数学抽像是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对像的思维过程,从事物的具体背景中抽像出一般规律和结构.与数学抽像关系很密切的是直观想像,直观想像是实现数学抽像的思维基础.直观想像是指借助几何直观和空间想像感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程.直观想像能力是高中数学的核心素养之一.想像力是现代科学进步发展的核心引导力,培养学生的想像力是高中数学的重要目标,教材解法还是拓展的解法核心都是求函数的零点问题转化为函数图像关系,通过转换学生的思维方式,进一步发展学生的几何直观,增强运用图形和思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,使学生的思维水平得到提升;数学的思维指逻辑推理,逻辑推理主要涉及归纳类比、演绎推理、联系和交流,由此帮助学生理解数学知识之间的联系,形成有条理的数学观.在拓展解法过程中去提高学生独立进行推理演算、抽像概括能力,培养学生从多个角度多个层次多维度的去思考、解决问题的能力.数学育人主要是通过运算、推理的训练,培养学生的逻辑思维,使学生得到逻辑思维方法的训练,形成思维能力.同时培养批判性思维,形成实事求是、不讲假话空话的意识和习惯.这就是理性思维、科学精神.推理之成为论理的体系者,限于数学一科,这是数学的教育价值所在.

结语

数学核心素养反映了数学的本质与数学思想,是在数学学习过程中形成的,具有综合性、整体性和持久性,教师要具有引领性,对教材、教法的研究的势在必行,学生的主体地位不可动摇,教师的主导作用也无人可替.如何培养学生的高中数学核心素养、提高学生的数学能力等更好融入每堂课值得我们思考.