重视运算说理，优化运算思维，提高运算能力

商丹青

【摘要】运算是数学的重要内容，运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。教学运算的基础知识应让学生清楚地意识到实施运算中的算理，学生只有理解了计算中的算理，才能够理解和掌握计算方法，才能正确、迅速地运算。小学数学计算教学的重点除了教给学生正确、基本的计算程序以外，教师更应该使学生掌握一系列的计算策略，逐步形成运算技能，并将运算提升到思维的层面。思维的“多层次”，在于学生从众多的解法中比较、反思、分析出解法的优劣，最终能够选择合理简洁的运算途径，这是运算能力发展的重要内容，也是运算思维达到一个新的高度的重要标志。

【关键词】运算能力；说清算理；算法优化

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识和技能。《标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算规律正确地进行运算的能力。”运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。

运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，从低年级起，打好学生的运算基础就显得尤为重要。低年级孩子不具备一定的抽象思维能力，他们的计算往往是单纯的记忆或简单的模仿，缺乏学习兴趣和真正的理解，这样掌握的计算，往往会出现错误，是很多孩子运算能力差的一个重要原因。所以，在适度的训练，逐步熟悉的基础上，对运算的基础知识不仅应“知其然”，更应“知其所以然”，清楚地意识到实施运算中的算理。算理，从字面理解，既为运算的原理或道理，是解决问题的操作程序，解决“为什么这样算”的问题。学生只有理解了计算中的算理，才能够理解和掌握计算方法，才能正确、迅速地运算。

“口算两位数减一位数（退位减）”是苏教版一年级下册第79-80页内容。之前学生已经学过“口算两位数加一位数（进位加）”，这些是后面进一步学习稍复杂的笔算加减法的基础。教材提供了30-8 、34-8两道例题，教材上呈现的都是同一种算法，即从十位退一到个位，个位加十再减，十位退1再减。我反复研读教材，以及根据自己多次教学这部分内容的个人经验，我认为这两道例题尤其是34-8，可以挖掘出多种算法，对于激活学生的思维灵活性很有帮助，并且能教会学生根据不同的题目合理选择不同的算法，而让学生真正理解每种算法的算理，并能自主优化，就显得格外重要。例题的教学主要分两段进行：

【片段一】教学30-8

师：30 - 8，你会算吗？先想一想，如果有困难可以用小棒摆一摆。

学生自己试着算一算，摆一摆，教师巡视。

组织反馈：

指名演示摆法，边用小棒摆一摆，边说一说自己是怎样想的。（先摆3捆小棒，表示30，拿出1捆拆开变成10根，从10根中去掉8根，剩下的2根和2捆合起来就是22根）

师：将一捆小棒拆开变成10根，就是将30分成了20和10。

师： 如果不摆小棒，你还会算吗？（先算10-8=2，再算20+2=22）

指名几人说说怎么算的。

这个片段的教学，主要是解决退位的原理和方法。低年级的学生，及时、适时的动手操作，对学生理解抽象、复杂的知识有着无可替代的作用。学生一边用脑思考，一边用手操作，一边用语言说清楚操作的过程，当学生能够将一道计算题说清楚的情况下，也必定能够理解其中的算理。在操作中说算理，便于学生建立起操作和计算的联系，所以教师在课堂上适当安排“说算理”步骤，要求学生将自己的思考过程说清楚，一方面能够迅速地实现口算，另一方面能够让学生明确算法。

【片段二】教学34-8

30-8大家已经会算了，那34-8呢？大家想想看，有困难也可以请小棒帮帮忙。

反馈如下：

方法一：

个位上4减8不够减，看成14-8=6，再把6和剩下的20合起来就是26。（分析）这种算法是前面学过的30-8的自然迁移。需要理清的算理是：14是哪里来的？20又是哪里来的呢？可以借助小棒，帮助学生理解：从4根小棒里面减去8根不够，可以拆开一捆小棒，将拆开的10根小棒和4根合起来就有了14根，剩下的2捆小棒就是20了，也就是将34分成了20和14。接下来从14根小棒里减去8根，剩6根，和2捆合起来是26根。

方法二：

30-8已經学过了等于22，那么34比30多4，所以得数也多4，在22上面加4就是26。

（分析）30和34都是被减数，低年级的孩子说总数更好理解。总数原来是30现在是34，增加了4，但减掉的还是8，所以剩下的得数也会增加4。

这种算法的算理比较难以表述，就不一定要让学生完全表达清楚，只要让学生意识到它就可以了，将要明确的算理蕴藏在具体的计算中。

方法三：

把34-8看成34-10=24，多减了两个再加上去，24+2=26。（板书：34-10+2=26）

方法四：

从34里面拿一个10来减8，等于2，再把剩下的24和2加起来等于26。

方法五：

把34-8看成34-4-4，34-4=30，30-4=26

（分析）以上三种算法，都和“凑整”策略有关。方法三中，为什么把8看成10来减？因为孩子觉得10算起来简单。教师可适时点拨：“可不是嘛！10无论算加算减都比其他数简单，所以才会有“凑十法”呀！不止是10，只要是整十数的计算都比较简便。”方法五中，教师可以追问几句：“34-4-4和原来的34-8意思一样不一样？都是从34里面减去几？”“34-8看成34-4-4有什么好处？看成34-2-6可不可以？”通过追问帮助学生理解为什么这样算，在算法和算理之间架起一座桥梁，使学生真正理解算理和算法之间的关系，让学生的数学运算从感性上升到理性的高度。

片断二的教学主要激发学生的创新意识，发散他们的思维，拓宽解题思路。小学数学计算教学的重点不仅仅是放在教给学生正确、基本的计算程序，教师更应该使学生掌握一系列的计算策略，包括凑整、补偿、分割、重新组合等。其中“凑整”策略是运用比较多的一种，因为学生对“整五数”“整十数”比较熟悉。在学生熟练地运用这些策略解决个位数计算的基础上，还可以将这些策略应用于两位数、三位数的更复杂的运算中。不管哪种运算策略，都要让学生搞清楚计算过程的依据和合理性，在师生对话、生生对话中，引发对“怎样算？”“为什么这样算？”“这样算有什么好处？”等一系列问题的思考。长此以往，学生不仅会逐步形成运算技能，还会将运算提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。

【片段三】自主优化算法

师：你们想了这么多方法，到底哪种方法比较简便呢？现在老师这有几道题，用你觉得简便的方法做做看：

46-9

生1：我用的是把9看成10 的方法，46-10=36，再加上1等于37。

师：你为什么选这种方法？

生1：9很接近10，减去10 以后，只要再加1就行了。

师：确实很简便。

生2：我是先用的16-9=7，因为16-9=7我们学过了，再算30+7=37。

师：是啊，这两种方法都能很快算出得数。

52-6

师：52-6呢？

还是生1站起来说：老师，这题我没有把6看成10来算，因为6不接近10。我用的是12—6=6，6+40=46。

生3：我也是用的这种方法。

师：看来不少同学都喜欢用十位退1的方法，把 2看成12来减。这种方法正好把我们很熟练的20以内的口算用上了，所以我们更容易掌握一些。

（分析）教师不急于对各种算法进行评价，尊重学生自主的选择，保护学生自主发现的积极性。然后给学生一道题，46-9 ，学生可以按自己的经验选择不同的方法进行计算。 学生自然而然地筛选出两种方法：把9看成10来减，以及传统的十位退1，用16-9的算法。教师仍对这两种算法给予肯定，紧接着又出一题52-6，学生又在这两种算法中肯定了后一种，而这也是教材上要求学生掌握的算法。从循序渐进的角度来讲，20以内的口算退位减给这种算法做了铺垫，利于学生掌握；而从长远的角度来看，这种算法又是以后学习更复杂的笔算退位减的基础。

这个片段的教学告诉我们，在实施运算的过程中，会遇到多因素的情况，需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法。一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，一题多解体现了运算的灵活性，是激活解法的核心。一题多解的目的并不是一味强调“解法的多样化”，而在于思维的“多层次”，在于学生从众多的解法中比较反思、分析出解法的优劣，最终能够选择合理简洁的运算途径，这是运算思维达到一个新的高度的重要标志。

课改初期，我们在计算教学上走过弯路：过分注重算法的多样化。老师课堂上花费很多时间致力于算法的挖掘，思维快的学生能想出好几种，而一些思维慢的学生搞得眼花缭乱，无所适从，最终也不知道哪个方法最好。一段时间下来，学生的计算能力大不如以前，速度和准确率都不高。计算教学中一味追求计算技能的提高和过分强调计算方法的多样化，是两种极端，都是不可取的。缺少明明白白的说理和计算方法的提炼，必然导致算理不突出、算法不扎实，学生运算能力下降。

要提高学生的運算能力，在平时的教学中，必须要让学生真正搞懂为什么这样算，明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。计算方法的多样化如体现同一层面的，没有很明显的优劣之分，可以遵循学生的个体意愿，让学生自由选择；有明显优劣之分的，教师要进行合理引导。数学中“算法最优化”的含义是要求在众多算法中寻找最简捷、速度快、不易错的方法，而不是你喜欢怎么算就怎么算。这一点，教师在课堂教学中要十分明确，要负责任地引导学生通过算理去比较、去评价，并使学生掌握那些公认的最佳的、最优的、最基本的算法，只有这样，才能更好地保证学生正确计算，提高他们的运算能力。

还要注意两点，一是强调算理的教学，并不等于每种算法都要让学生把算理表达出来，对于有的算理，小学生是难以表述的，只要让学生感悟就可以了。二是通常不需要在计算教学中把算理提出来进行专门的教学，而是把它蕴藏在计算过程之中，让学生在计算中明确这样算的道理。

【参考文献】

[1] 史宁中. 义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 王光明，范文贵. 新版课程标准解析与教学指导—小学数学[J].教学教育学报，2015（5）.