在探究中感悟 在理解中建模

徐继健

【教学内容】苏教版《义务教育教科书数学》五年级下册第30—32页例1、例2、例3以及相应的“试一试”“练一练”。

【教学目标】

1.结合整数乘法、除法算式初步认识因数与倍数的含义，探索并掌握求一个数的因数和倍数的方法。

2.在认识因数和倍数以及探索求一个数的因数或倍数的过程中，进一步体会数学知识之间的联系，提高数学思考水平。

3.进一步培养对数和运算的学习兴趣，初步体会可以从不同角度研究自然数的特点，感受数学学习的乐趣。

【教学重、难点】理解因数和倍数的含义，不重复、不遗漏，有序地找出一个数的因数和倍数。

【教学过程】

一、认识因数和倍数

1.操作引入例1

用12个同样大的正方形拼成一个长方形。每排摆几个？摆了几排？用乘法算式表示自己的摆法。

通过用12个同样大小的正方形摆长方形，根据不同的摆法让学生思考可以列出怎样的乘法算式（小组合作在学习单上完成）。

（ ）×（ ）=12

（ ）×（ ）=12

（ ）×（ ）=12

学生汇报，课件展示：6种不同的情况（见图1），归纳成三种（见图2）。

2.直观感知概念

师：一起来看这些乘法算式。以4×3=12为例，根据乘法算式说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？

（课件）出示：4和3都是12的因数；12是4的倍数，12也是3的倍数。（师指着）让生跟着老师一起说一说，然后指名说，互相说。

3.理解因数和倍数

师：谁能换一道算式，说一说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？

生结合算式说，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数，（ ）也是（ ）的倍数。（特别指出12既是12的因数，也是12的倍数。）

4.举例加深理解

（1）有乘就有除，比如20÷5=4，根据这道式子，你还能再说一说吗？（学生汇报）。

师：我们可以根据乘法算式来写出一个数的因数和倍数，也可以根据除法算式写出一个数的因数和倍数。

（2）1.5×4=6，在这道算式中，1.5和4是6的因数吗？6是1.5和4的倍数吗？

说明：研究倍数与因数时，所说的数一般指不是0的自然数。（板书）

【设计意图：数与数之间是有关系的，由不同摆法得到不同乘法算式，本身也蕴含着数形结合的数学思想方法，在学生通过乘法算式感知因数与倍数关系的同时，引导学生结合除法算式描述两个数之间的因数与倍数关系，加深学生对因数与倍数的理解，同时及时进行开放性练习，让学生进一步体会因数与倍数的关系，并明确因数与倍数的研究范围。】

二、探究找一個数的因数的方法

1.写出36的因数

你能找到36的所有因数吗？

36的因数有：________。

学生自主探究后小组合作交流。

2.研究成果汇报

学生介绍本组探究成果，教师及时点拨、互动。

3.及时提炼方法

在沟通交流中理解、掌握找一个数的因数的方法（根据乘法或除法算式，从1开始，一对一对地找，然后按照从小到大的顺序写出来）。

强调：有序，不重复，不遗漏。

4.介绍集合图法

36的因数

5.探寻因数特点

（1）讨论，从几个例子中找一个因数的特点。

（2）明确：一个数的因数的个数是有限的；一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身（板书）。

【设计意图：本环节，充分发挥学生的主体地位，放手让学生自主探究36的因数，在自主探究的基础上进行小组合作交流，优化找一个数的因数的方法，自主发现、归纳出一个数的因数的特征。在这一过程中，渗透有序和集合的数学思想，明确了不重复、不遗漏的数学方法。】

三、探究找一个数的倍数的方法

1.自主探索

师：你能用列举的方法找出3的倍数吗？想一想，能找出多少个？

3×（ ）=

3×（ ）=

3×（ ）=

……

3的倍数有：3，6，

2.交流方法

学生汇报：3的倍数是3与一个数相乘的积。只要把3与1，2，3，4，5……相乘就可以了。

3.试一试

找2，5的倍数；

（1）讨论观察找到的3，2，5的倍数，发现一个数的倍数的特点；

（2）明确：一个数的倍数的个数是无限的；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数（板书）。

（3）比较因数和倍数的特点

4. 介绍集合图法

【设计意图：因为找一个数的倍数与找一个数的因数的方法存在某种相似性，学生在此之前的学习中已经积累了较为丰富的探究经验，所以这里尽可能让学生自主表达、交流，教师适当进行点拨。这样的安排能使教学过程具有一定的节奏感，有利于学生保持积极的心态。在这一环节中教师还运用了一一列举的策略，让学生体会到解决问题策略的用处。】

四、巩固应用，深化认识

1.说一说：完成书32页的练一练

把下面的乘法算式改写成除法算式，再说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。

8×9=72 11×4=44 1×5=15

2.判一判

正确的在括号里打“√”，错误的在括号里打“× ”。

（1）因为2×3=6，所以2是因数，6是倍数。（ ）

（2）17最小的倍数是34。（ ）

（3）20的最小倍数和最大因数都是它本身。（ ）

（4）3的最大倍数是18。（ ）

（5）20以内3的最大倍数是18。（ ）

3.填一填

你会在圈里填上合适的数吗？

30的因数 4的倍数 50以内7的倍数

学生完成后，比一比：后面两个都是写倍数，为什么一个圈里有省略号，一个却没有？（明确在一定范围内，倍数是有限的。）

4.找一找

在数轴上圈出12的因数，并在集合圈内写出来。

5.玩一玩

我是1，我所有的倍数请起立！

6. 介绍完美数

【设计意图：练习题的设计体现出了层次性、发展性、实效性和趣味性，让不同的学生在教学中得到不同的发展。学生动手、动脑、动口，个个主动参与学习，既激发了学生学习的热情，又巩固了因数和倍数的知识，提高了灵活运用所学知识解决实际问题的能力，促进了学生的思维发展。】

五、全课总结

今天这节课，我们学习了什么？你有什么收获？

教师小结：我们研究了因数和倍数以及它们之间的关系，也应用相关知识解决了一些实际问题，生活中，事物与事物有着千丝万缕的联系，我们要善于发现事物之间的联系。