利用直角坐标计算二重积分的教学设计

赵春艳

摘 要 二重积分是高等数学的一个重要组成部分，在一元函数定积分向多元函数重积分的转化中起着至关重要的作用。二重积分以一元函数定积分为基础，但是难度却大大增加。本文提出了探究式课堂教学设计，通过创设情景提出问题、引导讨论解决问题、概括归纳得出结论、巩固练习深化理解和课堂小结引申探究等教学模块来充分调动学生的主观能动性，使学生深刻理解并熟练掌握直角坐标系下把二重积分转化为二次积分的计算方法。

关键词 高等数学 二重积分 积分区域 探究式教学

0 引言

高等数学是高等院校理工经管大类一门重要的基础课程，是学生进一步学习专业课程的重要基础和必备工具，具有其他课程不可替代的专业服务功能和素质培育功能。因此，高等数学学习对学生后续专业课程的学习起着举足轻重的作用。由于我国高等教育已经从精英教育进入大众教育阶段，随着本科大规模扩招，给高等数学教育带来了一系列问题：如上课班级人数众多、授课学时少、教学内容多等。再加上学生普遍认为数学抽象难懂、枯燥乏味，教师若仍以传统的“授课”模式给学生讲课，那么高等数学的学习基本上变成了被动的听、记、练、考的单调过程，这样就会导致学生学习高等数学的积极性不高，高等数学的教学效果极不理想。

二重积分是高等数学的一个重要组成部分，在一元函数定积分向多元函数重积分的转化中起着至关重要的作用。二重积分是学生在学习了定积分的基础上，首次学习多元函数积分学。二重积分的计算既是定积分的推广，又为后面系统地学习三重积分、曲线积分和曲面积分提供研究和学习的方法。二重积分这部分的内容蕴含着丰富的数学思想，教学中应注重培养学生良好的数学素养和创新意识。

经过课堂教学实践研究，我们设计了“利用直角坐标计算二重积分”的探究式教学方法，通过创设情景提出问题、引导讨论解决问题、概括归纳得出结论、巩固练习深化理解和课堂小结引申探究等教学模块来充分调动学生的主观能动性。在利用现代多媒体教学手段的同时也注重板书设计，这样既可以借助多媒体在直观形象方面的优势，也能够发挥板书在推导、再现教学整体过程和重点难点上的优势。我们在课堂上始终贯穿“以教师为主导，以学生为主体”的原则，使学生成为主动的学习者而不是被动的接受者，有助于培养学生的数学思维，并用数学思想去发现、分析和解决问题的能力。

1 教学设计

二重积分实质上指二元函数的定积分，以一元函数定积分为基础，但是难度却大大增加。因此学生常常感到二重积分的计算方法本身太难理解、很难掌握，甚至会失去学习兴趣。为此，我们通过课堂教学实践，设计了探究式的教学方法来学习“利用直角坐标计算二重积分”。

1.1 创设情景，提出问题

俗话说“好的开始是成功的一半”。因此，如何在课堂的开始设计出合适的场景和内容，吸引学生的注意力和兴趣就显得至关重要。首先用PPT给学生播放两幅图，一幅是国家大剧院的观众厅，我们知道建筑设计不但要求外观漂亮，有时还需考虑其体积。因为体积的大小会直接影响到声音的传播和空气质量等。另一幅图是生活和工业中随处可见的管道，两根圆柱形管道直交处的体积会影响到物质的输送。然后在这个情景创设的基础上提出两个问题。问题一：剧院的观众厅和圆柱管道直交处都可看作是前面学过的哪种几何图形？在回答了第一个问题也就是这两个都是曲顶柱体的情况下很自然地提出问题二：如何计算曲顶柱体的体积呢？我们前面学习过二重积分的几何意义就是以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。让学生意识到这节课的主要内容就是二重积分的计算，而且现实生活需要我们知道曲顶柱体的体積该如何计算。这样的情景创设就有助于吸引学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，为“利用直角坐标计算二重积分”的探究式教学设计做了一个良好的开端。

1.2 引导讨论，解决问题

首先让学生尝试根据已有知识对二重积分的计算进行分析。如果按照二重积分的定义式来计算二重积分，仅对少数表达式特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的。但是对于一般的函数和区域来说，就会非常复杂，甚至无法计算。因此利用定义计算二重积分这不是一种切实可行的有效方法，我们有必要来探究一种计算二重积分的新方法。这种方法就是把二重积分化为二次积分（即两次定积分）来进行计算。

其次，引导学生进行分组探讨如何利用定积分计算曲顶柱体的体积，确定解决问题的方案，从而得到二重积分值。然后给学生几分钟的时间，简要表述讨论后的结果。在这个阶段，教师就从单纯的知识传授者变成了学生学习的引导者。结合学生的讨论，在探讨曲顶柱体体积的计算时，采用的教学手段是利用MATLAB和Visio画图，并借助PPT动画演示，将抽象的计算方法直观形象地给学生展示出来。首先设积分区域可用不等式来表示（如图1所示）。这种积分区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界相交不多于两个交点。这样的积分区域称为型区域。由以下两步得到曲顶柱体的体积：

第一步，在上任取一点，用平面截曲顶柱体，得到的截面是一个以区间为底，以曲线为边的曲边梯形（如图2所示）。由定积分的几何意义知截面面积。让取遍上[a，b]的一切值，得到一族平行截面（如图3所示），且这族平行截面的面积。这个过程用Visio画示意图，用PPT动态形象地展示出来。

第二步，启发学生利用已知来推导未知。思考如何利用得到的平行截面面积来求出曲顶柱体的体积？引导学生回忆定积分应用中的一个知识点，也就是利用定积分计算“平行截面面积为已知的立体的体积”，从而得到曲顶柱体的体积为

。形式上，我们将移到上的定积分后面，记作。

1.3 概括归纳，得出结论

教师和学生对上面探究的曲顶柱体体积的计算方法进行分析总结。也就是要计算的值，若可以看做是型区域，即可以表示成（如图4所示），则在上的二重积分就可转化为先对后对的二次积分。在上述讨论中，我们假设，但实际上这个公式的成立不受此条件限制。

类似地，若积分区域可看做是型区域，也就是可用不等式，来表示（如图5所示），则在上的二重积分就可转化为先对计算从到的定积分，后对计算在区间上的定积分的二次积分。

基于以上教师和学生的共同分析，在学生理解二重积分计算方法的基础上，很自然地就可以总结出直角坐标系下计算二重积分的步骤：首先，画出积分区域；其次，判断积分区域类型；再次，确定积分次序和积分限；最后，把二次积分化为二次定积分并计算。

这一步既是对探究过程的巩固，又是对探究结果的检验。

1.4 巩固练习，深化理解

在掌握利用直角坐标计算二重积分的方法后，让学生来做四道典型的练习题。第一题，当积分区域既是型区域又是型区域时，可以先先对后对积分，也可以先对后对积分。第二题，当积分区域既是型区域又是型区域时，有时需要考虑计算的复杂程度，以此来选择积分区域的类型，从而确定二次积分的积分次序。第三题，当积分区域既是型区域又是型区域时，有时需要根据被积函数的特点来选择积分区域的类型，从而确定二次积分的积分次序。这是因为某些形式的积分如等不能用初等函数来表示，因此必须将其放在后面進行积分。第四题，就是我们创设情景时提出的问题即“求两个圆柱直交处的体积”，与前面呼应，（下转第100页）（上接第97页）理论与实际相结合会大大激发学生的学习热情。

1.5 课堂小结，引申探究

组织学生对利用直角坐标计算二重积分进行归纳小结，这样可以使学生反思学习过程，领悟解决问题的实质。通过例题的练习，学生会发现自己在解决问题过程中可能出现的错误，此时应该突出强调这次课堂内容的重点和难点。也就是在化二重积分为二次积分的过程中，要特别注意积分次序的选择以及如何确定积分限的问题。

不会确定积分限是许多同学初次接触二重积分的积分区域时容易遇到的问题。有些同学经常用来表示积分区域。针对这个问题，我们将积分限的确定方法概括成通俗易懂、朗朗上口的四句话即“域边两线夹，外限依靠它；域中一线穿，内限定上下”（如图4和5所示）。尤其要特别指出，外限一定是两个常数，而内限通常为函数，有时也可为常数。然后再详细解读：域边两线夹，外限依靠它，也就是说外限即后作定积分的积分变量的上下限必须是常数；域中一线穿，即我们在积分区域中，作平行于且与坐标轴同向的射线；此时内限定上下，也就是该射线与的边界先后相交的点就是内限也就是先做定积分的积分变量的下限和上限，该积分限通常为函数。积分限为常数的积分变量通常就是此积分区域的类型。

在讲解这个知识点时，采用的教学方法是一边在黑板上按步骤画图一边详细讲解。通过总结，以及对难点内容的解析，让学生掌握了重点，找出了解决问题的关键，领悟了数学知识中所蕴含的思想方法。

最后，教师针对本节课的学习提出两个相关的问题引导学生进行深入思考。问题一是让学生搜集二重积分的应用，了解二重积分的重要性；问题二是启发学生探讨极坐标系下二重积分的计算法。这样就可以把二重积分的计算不仅仅局限于高数课堂，也可以扩展到课堂之外，引导学生带着问题结合社会生活进行探究。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学：上册[M].七版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 上海理工大学高等数学教研室.高等数学辅导[M].上海：上海财经大学出版社，2012.

[3] 郭镜明，韩云瑞，章栋恩等.美国微积分教材精粹选编[M].北京：高等教育出版社，2012.