以小学图形与几何教学为例，浅谈渗透数学思想方法的策略

冯倩如

【摘要】《义务教育数学课程标准（实验稿）》提出了“数学为其他科学提供了语言、思想和方法”的基本理念，首次关注了数学思想和方法。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）明确提出的“四基”理念和目标，在原来“基础知识、基本技能”的基础上，增加了基本思想和基本活动经验，打破了原来只提出“双基”的数学教学理论体系，由“双基”扩充到“四基”。数学基本思想是数学课程教学的精髓，非常值得广大教师的重视。本文所分享的是笔者近几年在图形与几何教学中基于渗透数学思想方法、致力于培养学生数学核心素养的思考所提出的几点策略，案例都是亲身实践的，具有可行性、可操作性。

【關键词】图形与几何；数学思想；数学思想方法；数学核心素养

图形与几何是数学四大课程内容之一，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心而展开的。数学思想是对数学内容、数学方法以及数学作用的本质的、理性的、普遍性的认识，是建立数学、发展数学和应用数学解决问题的指导思想，是数学课程教学的核心和精髓。数学思想方法是在数学思想的引领下用数学解决问题时的方法和手段，是数学的灵魂，是数学核心素养的反映。数学核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。所以，数学思想方法与数学核心素养有着密切的关系。

一直以来，小学数学教学非常重视基础知识的掌握和基本技能的形成，但较多学生往往会出现“学一题会一题”的现象，不能举一反三，根本原因是未能掌握数学思想方法。数学思想方法有助于学生理解和掌握数学知识的本质、有助于发展学生的数学认知、有助于发展学生的数学能力和思维品质。所以，教师在教学中不但要继承注重基础知识、基本技能的传统，更要重视渗透数学思想方法，培养学生的数学核心素养。下面以图形与几何的教学为例，浅谈渗透数学思想方法的几点策略。

一、在知识形成的过程中体验

1.经历探究活动过程，让数学思想方法“显现”。

发现教学论认为，发现是人的基本冲动。弗赖登塔尔指出数学教育的主要特征之一是再创造。数学课堂教学的探究环节就是实现再创造的重要环节。而数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础。所以，在探究活动过程中引领学生构建新的认知结构，是体验数学思想的重要途径。

从广义上讲，数学概念、定理、规律、法则、公式等，就是数学模型。学生在探究新知、构建新的认知结构的过程，就是构建数学模型的过程。所以，模型思想作为数学三个基本思想之一，地位非常高。《标准（2011年版）》提出“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”对于小学生来讲，虽然模型思想较抽象，但只要教师精心设计，在第一学段“润物无声”，第二学段就可以适时“显现”。

例如学习《角的分类》时，四年级学生步入了经验几何的阶段，即初步形成了“形”的意识，并尝试做一些简单的“度量”，同时开始对几何“结构”关系的探索活动。此时教师运用开放型教学的理念，通过让学生慢慢地旋转活动角的一条边，寻找大小不同的角，观察、度量它们的大小，并给它们分类。学生不但找到各类角，还找到了课本没有提及的优角，洋溢着成功的喜悦。这过程学生就像数学家建模那样经历了再创造过程，渗透了模型思想，培养了学生的创新意识和创新能力。

数学证明是一种特定的学习活动，要求学生理解概念定义及其中的逻辑过程。皮亚杰对学生的判断和证明概念的水平进行了分析，五年级学生正处于水平2的阶段，即学生不仅能根据经验结果做出预测，而且开始设法判断自己的预测。让五年级学生初步尝试数学证明，有利于中小衔接，提高学生的几何思维水平。

如题：下图ABCD是一个梯形，对角线相交于O，请比较图中S1和S2的面积大小，并说明理由。

因为SACD=SBCD （等底等高）

SACD- SCOD=SBCD-SCOD（恒等的性质）

所以S1=S2

多数学生会猜测两部分面积相等，通过讨论探究，运用所学的知识“等底等高的三角形面积相等”和“方程的恒等的性质”解决问题，也就是利用基本模型去解决问题，体验了模型思想。

2.通过结语和板书，让数学思想方法“留痕”。

科学、精简的结语能起画龙点睛的作用，教师的结语应包含数学思想方法方面。板书浓缩了教学内容，突出重难点，使知识结构系统化。通过结语和板书强化，能让数学思想方法“留痕”，学生的印象深刻。

平面图形的面积计算公式的推导，要用转化思想和变中有不变思想。转化思想是小学阶段最常用的数学思想方法，它在已有的、简单的、具体的、基本的知识基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决问题。变中有不变思想是面对千变万化的对象时，在变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质。在五年级上册《多边形的面积》单元探究平行四边形、三角形、梯形面积计算公式的过程中，体验转化思想和变中有不变思想，培养学生推理能力。

《平行四边形的面积》作为起始课，在探究活动后，通过结语“把平行四边形转化为长方形，转化后平行四边形的形变了、但面积不变；长方形的长相当于平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高；因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。”和板书（如下图）强化数学思想方法。

在后面的《三角形的面积》和《梯形的面积》课，学生能自主想到转化思想，探索把三角形、梯形转化为平行四边形的不同方法，并逐步独立进行演绎推理得到三角形、梯形的面积计算公式。结语和板书也类似《平行四边形的面积》一课，让数学思想方法“留痕”，学生留下深刻的印象。

二、在知识应用的过程中认同

课堂教学中的巩固练习环节是巩固完善的阶段，学生运用知识解决问题，得以对知识进一步的理解，形成相对稳定的认知结构。这个过程再次让学生体会并应用数学思想方法，数学思想方法得以认同。

1.设计专项练习，凸显数学思想方法的优势。

针对某个数学思想方法设计针对性练习，让学生体会有或无运用数学思想方法解决问题的差异，凸显数学思想方法的优势。

如题：下图是一个平行四边形大草坪，底边长200米，高120米，要给它铺草皮（中间有一条宽2米的小路不铺），一共要多少平方米的草皮？

此练习是针对运用转化思想解决问题而设计的，多数学生会先想到这是一个组合图形，想把两个梯形的面积加起来，但题中条件不足以分别求出两个梯形的面积，迫使学生另辟途径。运用转化思想把其转化为一个平行四边形，铺草皮部分还是平行四边形，只是比原来平行四边形大草坪的长减少了2米，高不变，问题顺利解决。也有部分学生假设两梯形上下底分别是几，再计算面积，与运用转化思想解决问题对比，也凸显了运用转化思想解决问题的优势。

数形结合思想也是小学生在解决图形与几何问题时常用的，它是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题，可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简洁化，能培养学生几何直观素养。

如题：如平行四边形和三角形等面积等底，请比较它们的高。

“特例研究发现法”是经验几何的阶段的重要方法，通过几个特殊例子归纳，推理得到规律，在观察、实验、猜想、验证等活动中，培养合情推理的能力。先让学生通过具体几个例子进行计算，再分析、比较已知条件和结果，发现平行四边形和三角形在等面积等底时，平行四边形的高是三角形的一半，或三角形的高是平行四边形的2倍。然后把这个结论进行画图分析，如下图：

学生能直观地看出三角形沿中位线剪切挪到下面得到一个平行四边形，即把三角形转化成平行四边形。视觉上三角形被“压扁”了，它一定比平行四边形高。运用转化和数形结合思想，加深对结论的理解。

题组练习设计能凸显隐含在数学问题中的数量关系及基本结构，突出问题的本质，能帮助学生形成知识体系，渗透类比思想，培养推理能力。如五年级上册《长方体和正方体的认识》一课的巩固练习环节设计题组：

下图是一个长方体的一组长宽高。

（1）若图中数据的单位是米，那么这个长方体可能是（ ）。

（2）若图中数据的单位是分米，那么这个长方体可能是（ ）。

（3）若图中数据的单位是厘米，那么这个长方体可能是（ ），

（4）如做这个纸盒，请在以下卡纸选择：（单位：厘米）

前面要用（）号卡纸，下面要用（）号卡纸，右面要用（）号卡纸，上面要用（ ）号卡纸。

（5）如把第（4）题的长方体改成一个正方体，有什么办法？

（6）如把第（5）题中的其中一个正方体（棱长为6厘米）做成纸盒，应选择（ ）号卡纸，需要（ ）张。

通过比较分析，学生感悟了长方体和正方体之间的联系，体会类比思想，帮助学生建立空间观念。

2.组织实践活动，发现数学思想方法的价值。

结合课本知识设计数学实践活动，是对课堂教学的补充、拓展和延伸，能拓宽学生的数学视野，扩大知识领域，培养学生的兴趣，激发情感，张扬个性；能培养学生的应用意识、创新能力，再次让学生体会数学思想方法，发现数学思想方法的价值。

《标准（2011年版）》建议开发与利用课程资源，促进学生的数学学习。其中信息技术资源能为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具，为学生提供探索复杂问题、多角度理解数学的机会，丰富学生的视野，提高学生的数学素养。确实，运用信息技术支持学生开展科学探究，能有效地突破学习难点，实现学生的个性化学习。

如六年级学习《圆的面积》后，教师自主研发、重组教学材料，基于互联网加教育背景下实施了《圆周率的奥秘》一课，此课以探究教学理念和翻转课堂理念进行设计，在课前让学生看已学过的圆的周长和圆的面积的微课，回忆渗透极限思想；在课中，学生利用Html5动画（如下图）对割圆术进行探究，在短时间内得很多例证，使抽象的极限思想在变化和对比中形象化、可视化。接着引导学生对“周三径一”进行演绎推理，通过微课突破这一难点，学生可以根据自己的实际进行若干次观看或暂停思考，培养了学生的演绎推理能力。

通过此活动课，学生对圆周率有更深的认识，感受把圆切割的份数越多、越接近圆的周长、圆周率就越精确，再次体会极限思想，发现极限思想的价值。

又如，四年级学习《土地面积》的课前，让学生查位于学校旁边公园的占地面积；课中，教师在地图框出此公园的版图，并比较公园周边学生熟悉的地方，利用学校、居住的小区等地框出1公顷和1平方千米的正方形地块；课后，让学生走走课上所研究或自己熟悉的地方，尤其要选择边长是100米的正方形广场沿着边长走一周，观察、感受这一周所围着的土地有多大。此活动帮助学生借助熟悉的地方建立“公顷”等土地面积单位的概念，渗透了模型思想，培养了学生的空间观念和应用意识。

三、在知识系统形成的过程中初步深化

归纳整理是重要的学习策略，对已学知识进行系统归类梳理，使零散的知识系统化、模糊的知识清晰化。学生进行归纳整理的过程应用分类和集合思想，对复杂的数学对象进行分类，同时思考知识点与知识体系的关系，即局部与整体的关系，为知识赋予一种逻辑的“序”，这过程可理解为学生创造一个新的“模型”，用一定的方式呈现出知识之间的逻辑层次关系。所以，在知识系统形成的过程中，可初步深化模型思想和抽象思想两大基本思想。

如四年级《多边形的认识》单元学习后，让学生对知识进行归纳整理，并用思维导图表示它们的关系。如下图一，采用下位关系与并列关系结合的方式呈现长方形、正方形、平行四边形、梯形的逻辑层次关系。如下图二用集合圈表示。此过程初步深化了模型、抽象思想，培养了学生的创新意和创新能力。

生活中处处有数学，数学知识、运用数学知识解决问题的过程中处处蕴含数学思想方法。当一个人遗忘了数学知识，但数学思想方法却永远印记在他的思维方法中，使他在分析问题时善于发现事物的本质，抓住事物之间的联系，有理有据地思考问题。所以，小学数学教育教学应加强数学思想方法的渗透，从而培养学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2012

[2]教育部.义务教育数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001

[3]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）解读.北京：北京师范大学出版社，2012

[4]王永春.小學数学与数学思想方法.上海：华东师范大学出版社，2014

[5]李光树.小学数学学习论.北京：人民教育出版社，2014

[6]刘俊.数学教学概论.北京：科学出版社，2012

[7]卢家楣.学习心理与教学.上海：上海教育出版社，2016

[8]李士锜，吴颖康.数学教学心理学.上海：华东师范大学出版社，2011

[9]林永伟，叶立军.数学史与数学教育.浙江：浙江大学出版社，2004