高中数学开放性题型的解题思路管窥

刘建富

【摘 要】本文阐述开放性题型的种类，并对其解法进行探讨，以有效培养学生的解题思维能力，促进学生提高解题能力，更好地运用数学知识解决实际问题，学以致用。

【关键词】高中数学 开放性题目 解题思路

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）02B-0162-02

数学作为高中阶段学生的基础学科，对其他学科的知识内容具有重要的基础性作用。随着新课标改革和素质教育的不断深入，高考也在不断地革新，考试的题型也逐渐向开放题类型转变。因此，应当加强对学生的开放题型解题思路的培养，促使学生创新思维、独立思考能力的提高。数学开放性题型主要是指解答方式多样，并且条件不完全、结论不固定的数学题目类型。在高中数学教学的过程中，对开放性题型进行融入，能够锻炼学生的数学思维能力，促使学生灵活地进行问题的思考，培养学生面对不同的问题采取针对性的解题方式，促使高中数学课堂教学更加有效，促使学生创新思维的激发，培养学生的数学解题能力。

一、高中数学开放性题型的分类

（一）条件开放性题目

此种类型的题目是给出相应的结论，根据结论寻找相应的条件的题目。通过此种类型题的解答能够对学生数学定义以及基础知识内容进行考查，同时对其综合应用能力进行检测，促使学生数学知识迁移能力得到锻炼。

（二）策略开放性题目

此种类型的题目是在已知条件和结论的情况下，对两者成立的途径进行探究。通过此种类型题目的解答能够促使学生锻炼发散思维和创新思维，促使学生数学思维能力的培养。

（三）结论开放性题目

此种类型的题目顾名思义就是其结论具有多样性，对学生进行数学解题能力的培养，同时促进学生数学知识应用能力和水平的提高。

二、高中数学开放性题型的有效解题思路

（一）引导学生独立思考，促进开放性题型的解答

在高中数学开放性题型解答的过程中，学生需要对题型进行了解，比如，针对条件开放性的题型，教师应当引导学生从不同的角度进行问题的提出和解答，引导学生根据问题进行思考，指导学生采取多样化的解题方式。针对条件开放性的题型，学生需要从不同的思路，采取不同的方式进行，从而把握题目的规律性，提高解题能力。

〖例 1〗设等比数列{ an}的公比是 q ，其前 n 项和为 Sn，是否存在常数 c ，使得数列{Sn+c}是等比数列？如果存在，求解常数 c ；如果不存在，请说明理由。

〖提示〗在对这样的条件开放性题型进行解答时，需要进行相应的假设，然后逐步深入，进行解答。

〖解析〗设常数 c 存在，使得数列{Sn+c}成等比数列。因为（Sn+c）（Sn+2+c）=（Sn+1+c）2，所以能够得出 Sn·Sn+2-Sn+12=c（2Sn+1-Sn-Sn+2）。

（1）当 q=1 时，Sn=na1，带入上式求解得出 a12=0（a1≠0），所以不存在常数 c ，使得{Sn+c}成等比数列。

（2）当 q≠1时，，带入上式进行求解得出 。综上所述得出结论，存在常数 ，使得{Sn+c}成等比数列。

在解答这个题目的过程中，需要注意等比数列的 n 项和求和公式中公比的分类。通常情况下，很容易忘记公比 q=1，造成解题出现不全面的情况，造成分数的丢失。因此，针对此种类型题目进行解答时，要考虑全面。这种题目能够促使学生的思维得到锻炼，使学生的解题能力得到提高。

（二）注重学生求异思维的培养，促使学生解答开放性题型

在高中数学开放性题型解答的过程中，教师可以更好地培养学生的求异思维，促使学生掌握解题思路，促使问题结论的转变。一般来说，通过改变题目的表达方式，可以引导学生从不同的方向进行问题的解答，促使学生思维方式的转变，培养学生的问题解答能力，避免学生定式思维的形成。

〖例 2〗已知函数 f（x）是定义在 R 上不恒为零的函数，并且对任意的 a，b∈R，能够满足关系式 f（a·b）=af（b）+bf（a）。

（1）求解 f（0），f（1）的值。

（2）判断函数 f（x）的奇偶性，并且证明你的结论。

（3）如果 f（2）=2，，并且 n∈N，求解数列 {un} 的前 n 项和 Sn。

〖提示〗此题主要是对函数和数列的基础知识进行考查，教师可以引导学生用从一般到特殊的推理方式进行解答，促使学生形成好的解题思路，掌握解题技巧，提高学生的解题能力。

〖解析〗（1）在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=0 ，可得出 f（0）=0。

在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=1，求得 f（1）=0。

（2）f（x）是奇函数，因为 f（1）=f[（-1）2]=-f（1）-f（-1）=0，所以 f（-1）=0，所以 f（-x）=f（-1·x）=-f（x）。故函数 f（x）是奇函数。

（3）在这个问题解答的过程中，需要对其规律进行探究。

由 f（a2）=af（a）+af（a）=2af（a）

f（a3）=a2f（a）+af（a2）=3a2f（a）

……

可以進行相应的猜测： f（an）=nan-1f（a）。

之后引导学生利用数学归纳法进行证明：

当 n=1 时，f（a1）=1·a0·f（a），公式成立；

当 n=k 时，f（ak）=kak-1f（a）成立；

当 n=k+1 时，公式依然能够成立。

综上所知，对任意数 n∈N，f（an）=nan-1f（a）成立。对于 因为 ，计算得出 所以 （n∈N），最终能够计算得出 （n∈N）。

（三）促使学生思维灵活性的培养，促使学生开放性题型解题思路的培养

在开放性题型解答的过程中，培养学生思维能力，培养学生解题思路，提高学生创造性思维和解题能力。

〖例〗某机床厂今年采购一台数控机床花费了 98 万元，并且立即投入到生产中，计划第一年的维修和保养费用是 12 万元。从第二年开始，每年所花的保养和维修费用比上年增加 4 万元。在机床使用之后，每年的总收入为 50 万元，假设 x 年之后数控机床的盈利额是 y 万元。

（1）写出 y 和 x 之间的函数关系式。

（2）从第几年开始，该机床开始正式盈利。（盈利额是正值）

（3）在使用若干年之后，对机床的处理有两种方式。第一，当年平均盈利额达到最大时，以 30 万元的价格进行处理。第二，當盈利额达到最大值时，以 12 万元的价格对机床进行处理，请问这两种方式中哪种更为合理？说明理由。

〖解析〗（1）y=50x--98=-2x2+40x-98。

（2）对不等式 -2x2+40x-98>0 进行求解，得出3≤x≤17，所以从第三年开始机床开始盈利。

（3）针对第一种处理方式，因为 =-2x+40-=40-（2x+）≤12，当且仅当 2x= 时，即 x=7 时，等号成立。所以在使用的第 7 年年平均盈利额最大，工厂获取的利润是 114 万元。

针对第二种方式。因为 y=2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，所以当 x=10 时，ymax=102，所以在第 10 年盈利额达到最大值，工厂获得的利润是 102+12=114 万元。

（四）利用数学图形进行问题的解答，培养学生解题思路

在高中数学开放性题型解答的过程中，一些题需要对数学图形进行有效利用，促使数学关系以及数据更加直观地显示，使题意更加明显，更加准确地进行解答。

〖例〗甲、乙两人做社会调查，对养鸡场进行六年的调查研究，如下图所示。

（A） （B）

在 A 图中，从第一年平均每个养鸡场出产 1 万只鸡开始，逐年上升，到第六年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡。在图 B 中，第一年的养鸡场个数从 30 个减少到第六年的 10 个。回答下列问题：

（1）第二年养鸡场的个数以及出产鸡的总数各是多少？

（2）哪一年的规模最大？为什么？

〖提示〗在解答的过程中，需要对图形进行分析，并从图中获取相关信息，培养学生读图和识图能力。此题比较简单，在此不作详细解答。

随着新课标改革的深入，在考试的过程中，开放性的题型占据的比例越来越大，开放性题型也成为高中阶段学生数学学习的重要部分。学生想要对开放性题型进行有效解答，需要掌握好解题思路。因此，在教学的过程中，教师应当采取有效的措施促使学生数学思维的提高，培养学生良好的解题思路，从而提高学生解决问题的能力。

【参考文献】

[1]卜旭贞.高中数学开放性题型的解题思路研究[J].中学生数理化（学习研究），2016（2）

[2]夏海峰，周兰萍.高中数学开放性题型的解题思路分析[J].数理化解题研究（高中版），2014（2）

[3]王 滢.高中数学开放性习题研究[J].南北桥，2015（5）

（责编 卢建龙）