常微分方程课程教学中培养学生能力的实践

张 理

(安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002)

常微分方程是数学与应用数学和信息与计算科学这两个专业开设的一门重要的专业基础课。它是数学分析、高等代数的后续课程，同时它又是后续的偏微分方程和控制论的基础课程。自然科学与工程技术中的许多问题最后都需利用常微分方程来解决。因此，通过常微分方程课程的学习，一方面是扩展学生的知识面，提高对专业的进一步认识，另一方面培养学生的创新思维，让学生形成利用所学知识发现、分析和解决问题能力。笔者从教学内容、教学方法、教学手段、教学评价以及后续指导等方面着手，努力培养学生的创新思维和实践能力。

一、调整教学内容，培养学生创新能力

常微分方程课程教学内容是以教材章节安排的，教材上的基本内容包括：常微分方程的基本概念，方程的初等解法，解的存在性和唯一性定理，解的连续依赖性理论，线性微分方程(组)解的结构，微分方程定性理论简介等。教材注重的是学生基础概念和基本理论的学习，淡化了学生对知识应用能力的培养和训练，而这与应用型人才培养的目标相悖。为此，笔者在讲完常微分方程每一章节基本内容之后及时补充一些相关实例，引入数学建模的思想，一方面让学生体会到常微分方程的数学魅力，激发学生的学习兴趣，另一方面培养学生的科研意识，锻炼学生分析问题和解决问题的能力。比如，在学习一阶微分方程时，可以引入年代的判断与艺术品防伪问题，让学生切实感受到微分方程的应用。在学习线性微分方程组的求解时，举例兰彻斯特战斗理论、飞机的运动等模型，激发学生利用微分方程组的知识解决问题。在讲到极限环的稳定性时，笔者举例综合国力与经济调整模型中利用极限环的稳定来表示模型的稳定解。在讲到混沌时，用飞行器机翼振动模型来说明其应用等。

数学建模的过程就是分析问题和解决问题的过程，在此过程中将复杂问题简单化，体现微分方程在抽象思维中的应用。这种将常微分方程与数学建模相结合的方法，对提高学生的学习热情，提高教学效果和培养学生的创新能力会起到十分重要的作用。[1]

二、改革教学方法和教学手段，培养学生的创新思维

所谓教学有法，教无定法，贵在得法。传统的常微分方程教学方法是讲授法，按照教学大纲的要求将课程内容讲授给学生，教学注重理论性，缺乏对学生应用能力的培养。

笔者在常微分方程实际教学过程中，根据不同的章节采用合适的教学方法，如启发式、探究式、类比式、归纳式等，使得课堂教学效果达到最佳。笔者在讲解常数变易法求解二阶线性微分方程时，引导学生回忆第二章运用常数变易法求解一阶线性微分方程时的原理和步骤，学生进行类比，这样让学生更容易理解和掌握常数变易法。在讲解微分方程的解对初值的连续依赖性时，采用探究式、启发式教学，通过解的存在性唯一性定理可以发现初值问题的解除依赖于自变量，同时还依赖于初值。逐步引导学生深入参与到课堂教学中来，激发学生的学习兴趣和探索欲望，在探索的过程中培养学生的创新思维。

教学手段上除了传统的黑板加粉笔外，使用多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识。随着信息科学技术的发展，网络课程资源的建设、微课、雨课堂等教学方式和教学手段的翻新，可极大地激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效果。比如，在讲解的过程中，通过雨课堂抛出问题，让学生当堂练习，及时了解学生对知识点的掌握状况，并且学生对课堂上所讲的每一页PPT内容进行及时的反馈，根据学生的掌握程度，对学生普遍觉得很难的内容侧重进行讲解。

在微分方程教学中，复杂的计算和讨论都可以利用数学软件Matlab来完成，其强大的数值计算功能和图像分析功能使学生从繁琐的计算中解放出来，既增强了学生的理论水平又培养了学生的实践能力。同时，通过数学软件的强大数据分析功能和图形的直观感受提高学生的学习兴趣。[2]

随着网络课程资源建设，学生除了在课堂中学习课程内容外，还可以进一步借助网络平台线下学习，达到效果的最大化。建设常微分方程大规模在线开放课程(Mooc)，学生可以直接通过线上完成学习本课程，从而为学生每个人针对自己的个人不同情况选择不同的学习方式。[3]

三、改革课程考核评价体系，培养学生的应用能力

在以往的课程考核中，学生的总评成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%，而平时成绩大多由学生的课后作业和出勤情况来确定，期末成绩是学生本课程期末考试的卷面成绩。这种考核方式缺乏对学生学习过程的考核，注重的是学习结果的评价。这种评价体系导致教师不能实时掌握学生的学习情况，从而也就不能及时调整教学计划和教学方法。2017年2月我校开始对部分课程实行形成性评价试点，首先由任课教师申报、教务处审核同意，然后由任课教师实施。在形成性评价中，平时成绩除了考虑学生作业和出勤率外，还要求考核学生的课堂表现，比如课堂讨论、平时测验、课堂回答问题以及课后学习的自主性、实践学习等方面，要求平时成绩所占比例不少于40%。常微分方程申报形成性评价课程后，平时成绩占45%，主要包含以下内容：

课堂讨论。课堂上除了考察学生的出勤情况和课堂反应外，在教学的过程中将一些重难点知识进行课堂讨论，让学生发挥主体作用，对相关知识进行课堂发言、集体讨论。比如，在证明一阶微分方程解的存在唯一性定理时，需要构造皮卡序列，这里可以组织一次讨论，问为什么需要这样构造序列？当一阶微分方程无法求出解析解时，能否计算近似解？如果能，应该怎么计算出来呢？

学习笔记。学生需要在课外进行自主学习，包括提前预习、课外网络资源的利用、重难点的掌握、疑难问题的理解等。这些自主学习的过程让学生做一个记录，教师通过学生的学习笔记了解学生的学习情况并给予指导，同时进行成绩的评定。

阶段性测验。课堂上不定期进行一些测验，有时在上课的第二节课快结束时给出一两道题目让学生当堂测试，摸清学生对所学知识点的掌握程度。每次测验教师给予批改并给出相应的成绩，让学生了解自己这门课程的学习情况，也便于教师掌握学生的学习动态。

四、抓好课程后续的提升，培养学生的实践能力

学完本课程以后，有些学生对常微分方程产生了浓厚的兴趣，希望继续深入地学习微分方程理论知识。这时可以引导这部分学生加入后继的选修课微分方程定性理论课程中，让他们能接触到非线性微分方程定性理论知识。

另外，每学年学校组织本科生申报大学生创新创业训练项目，这为大学生提供了难得的创新实践能力训练的机会。学生在申报和开展项目的过程中促使自己主动去查阅文献资料，充分利用网络资源，寻求问题解决办法，同时也培养了学生的科研意识和创新能力。